Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Статистическая механика и термодинамика долгое время развивались независимо, ибо термодинамика основывалась на экспериментальных фактах, в то время как в основе статистической механики лежали гипотезы об атомно-молекулярном строении вещества и кинетической природе теплоты, достоверность которых вызывала сомнение до тех пор, пока эти гипотезы не были подтверждены экспериментально. С тех пор отпала необходимость в резком разграничении между термодинамикой и молекулярно-кинетической теорией, и в настоящее время они фактически слились в единую науку — статистическую термодинамику.
Действительно, как мы увидим, наиболее полные представления о свойствах систем большого числа частиц дает совместное использование термодинамики и статистической механики.
• Объясните, почему броуновская частица не «топчется» на месте, а систематически смещается из начального положения, несмотря на то, что молекулы окружающей среды в равной мере бомбардируют ее со всех сторон.
• Почему среднее значение cos <р равно нулю, если аргумент <р принимает с равной вероятностью любые значения от 0 до 2л?
176
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
• Докажите, используя метод математической индукции, что средний квадрат смещения броуновской частицы за N шагов пропорционален числу шагов N.
• Как зависит среднее смещение броуновской частицы от числа шагов N? от времени наблюдения?
• Почему коэффициенты пропорциональности а и (3 в формулах (6) и (7) зависят от температуры?
• В чем состоит принципиальное отличие подхода к изучению макроскопических систем в термодинамике и в статистической механике?
• Как в статистической механике макроскопические параметры системы связаны с микроскопическими характеристиками используемых физических моделей строения вещества?
§ 21. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа
Статистическая механика дает возможность установить связь между макроскопическими параметрами большой системы и средними значениями микроскопических величин, характеризующих отдельные молекулы. Проиллюстрируем это на простом, но важном примере уравнения состояния идеального газа.
В разреженном газе расстояния между молекулами во много раз превышают их размеры. Так как молекулы электрически нейтральны, их взаимодействие между собой проявляется только на малых расстояниях. Поэтому большую часть времени молекулы газа проводят в свободном движении, и их кинетическая энергия в среднем преобладает над потенциальной.
Физическая модель газа. Вместо того чтобы рассматривать реальный газ, введем его простейшую физическую модель — идеальный газ. Будем считать, что идеальный газ — это совокупность огромного числа одинаковых молекул, размеры которых пренебрежимо малы. В рамках такой модели считается, что молекулы движутся по законам классической механики и взаимодействуют между собой только во время столкновений, которые имеют характер упругого удара.
Вывод основного уравнения кинетической теории идеального газа. Газ заключен в сосуд, и в состоянии теплового равновесия никаких макроскопических движений в нем не происходит. Рассчитаем давление, оказываемое идеальным газом на стенку сосуда. Для этого нужно сопоставить этот макроскопический параметр с результатом бомбардировки стенки отдельными молекулами. Суммарное действие молекул на поверхность можно заменить одной непрерывно действующей силой, так как молекул очень много и их столкновения со стенкой происходят очень часто. Согласно законам динамики Ньютона, эта сила равна модулю изменения пер-
§ 21. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
177
пендикулярнои к стенке составляющей импульса всех молекул, которые испытывают столкновения с ней, за единицу времени.
Столкновение молекулы со стенкой. Хотя место и время удара каждой молекулы о стенку совершенно несущественны, начинать приходится с рассмотрения удара отдельной молекулы. Пока для простоты предположим, что молекулы сталкиваются со стенкой абсолютно упруго. Когда молекула отскакивает от стенки, проекция ее скорости на направление нормали к стенке меняет знак. Направим ось х по нормали к стенке (рис. 66). Обозначим через vx проекцию скорости молекулы до удара, а через v'x = — vx — после удара. Изменение импульса молекулы при столкновении со стенкой m(v'x — vx) равно —2mvx, а передаваемый стенке импульс равен 2mvx. Это относится к единичному столкновению.
Рис. 66. Упругое столкновение молекулы газа со стенкой сосуда
О роли столкновений молекул. При
подсчете давления газа можно не думать о столкновениях молекул между собой благодаря хаотичности их теплового движения: если в результате столкновения рассматриваемая молекула изменит свою скорость, то в большом
ансамбле молекул в состоянии равновесия на смену ей непременно придет другая молекула, получившая такую же скорость в результате другого столкновения.
Так как давление газа зависит от его температуры и объема и не зависит от формы сосуда, возьмем для простоты сосуд в форме прямоугольного параллелепипеда. Двигаясь как свободная, молекула проходит расстояние / между противоположными стенками за время l/vx, так что второе столкновение с той же стенкой произойдет спустя время 2l/vx. Следовательно, за достаточно большое время t молекула нанесет по данной стенке vxt/2l ударов, передавая ей каждый раз импульс 2mvx. В результате за время t эта молекула передаст стенке импульс, равный
