Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
7 = -^. (7)
Разделив обе части (6) на произведение pV, получаем дифференциальное уравнение, выражающее зависимость давления идеального газа от объема в адиабатическом процессе:
^+7^=0. (8)
Интегрируя (8), получаем
pVч = С, (9)
где константа С сохраняет свое значение в течение адиабатического процесса. Это и есть уравнение адиабаты идеального газа.
6 Б. И. Бутиков и др. Книга 3
162
IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Его можно записать и в других переменных, например V и Т. Для этого можно просто подставить в (9) p = RT/V из уравнения состояния:
TV4~X = CX. (Ю)
Аналогично уравнение адиабаты можно записать и в переменных р и Т.
КПД цикла Карно. Теперь у нас есть все необходимое для получения формулы (1). Рассмотрим цикл Карно с идеальным газом, показанный на рис. 59. Газ получает количество теплоты Q{ от нагревателя с температурой Т{ на изотермическом участке 1—2 и отдает холодильнику с температурой Т2 количество теплоты Q2 на изотермическом участке 3—4. На адиабатических участках 2—3 и 4—1 теплообмена нет. Поскольку внутренняя энергия идеального газа при изотермическом процессе не меняется, то теплота Q{ равна совершаемой газом работе при изотермическом расширении от до V 2. Поэтому в соответствии с (3) имеем
QX = RTX ln^. (11)
Аналогично для теплоты Q2 можно написать
Q2 = RT2 1п?. (12)
Теперь для КПД цикла Карно имеем
.. Qi-Qi , т2 in(V3/v4) ,1Гк
У] = ~оГ = 1~т[ImW ( }
Легко видеть, что отношение логарифмов в (13) равно единице. В самом деле, с помощью (10) для адиабат 2—3 и 4—1 имеем
TXV\~X = T2V\~\ TXV\~X = T2V\~\ (14)
Из этих равенств следует, что V2/V{ = 73/V4. Итак, для КПД
цикла Карно с идеальным газом получаем формулу (1):
В силу доказанной выше теоремы это выражение для КПД через температуры Т{ и Т2 справедливо для цикла Карно с любым рабочим телом.
Формулу (1) можно использовать для определения термодинамической температуры, не зависящей от свойств конкретных термометрических тел. Чтобы однозначно определить термодинамическую шкалу, необходимо задать значение температуры в
§ 19. МЕТОДЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
163
некоторой реперной точке. В качестве такой точки выбирается тройная точка воды.
Неравенство Клаузиуса. Приведенные результаты позволяют дать второму закону термодинамики количественную формулировку в виде некоторого неравенства. Для любого кругового процесса между тепловыми резервуарами с температурами Г[ и Т2 (Т1>Т2) справедливо соотношение, называемое неравенством Клаузиуса:
Qi-Qi ^ hzh . (15)
Q1 Ti
Здесь <2j — количество теплоты, полученное от резервуара с температурой Ту, а <22 — количество теплоты, отданное резервуару с температурой Т2. Знак равенства достигается в случае обратимого процесса, которым, как мы видели, может быть только цикл Карно.
Энтропия как функция состояния. Из (15) следует, что
(16)
1 1 1 2
Если условиться считать теплоту, получаемую рабочим телом, положительной, а отдаваемую — отрицательной, то (16) можно переписать в виде
+ (17)
1 1 1 2
где Ql > О, a Q2 < 0.
Неравенство (17) можно обобщить на случай любого кругового процесса, в котором рабочее тело обменивается теплотой с несколькими тепловыми резервуарами с различными температурами Ту, Т2, Т3, ....
sfuo. (18)
1 i
t
Если температура на протяжении кругового процесса изменяется непрерывно, то сумма в (18) обычным образом превращается в интеграл по замкнутому пути, так как рабочее тело, пройдя через
ряд промежуточных состояний, возвращается в исходное
состояние:
®S0, (19)
*
где под 6Q понимается получаемая (или отдаваемая) теплота на элементарном участке кругового процесса, настолько малом, чтобы температуру можно было считать постоянной.
164
IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
В случае обратимого кругового процесса в (19) фигурирует знак равенства, т. е. интеграл по замкнутому контуру равен нулю:
Это означает, что под интегралом стоит дифференциал некоторой функции состояния термодинамической системы: сумма ее приращений вдоль замкнутого пути обращается в нуль при возвращении системы в исходное состояние. Ситуация здесь такая же, как и при введении понятия потенциальной энергии в механике, где независимость работы от формы траектории (а следовательно, равенство нулю работы по любому замкнутому контуру) свидетельствовала о существовании функции состояния механической системы — потенциальной энергии. Итак,
