Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
В еще более поздний момент времени /3 положение частицы определяется радиусом-вектором г3. В соответствии с введенным определением перемещением частицы за промежуток времени
Рис. 6. Перемещение частицы за про- Рис. 7. Перемещение частицы за проме-межуток времени — жутки времени tj — ti, ti~t2 и tj — ti
h ~ *2 будет направленный отрезок, проведенный из конца радиуса-вектора г2 в конец радиуса-вектора г3. Аналогично, перемещением за весь промежуток времени /3 — tl будет направленный отрезок, проведенный из конца в конец г3 (рис. 7).
Сложение векторов. Как связаны между собой перемещения частицы за указанные промежутки времени? Будем говорить, что перемещение за весь промежуток времени t3 — tl равно сумме перемещений на составляющих его промежутках /2 — (1 и /3 — /2. Из рис. 7
Рис. 8. Правило сложения перемещений (а). Сложение векторов по правилу параллелограмма (б)
видно, что соответствующие направленные отрезки образуют треугольник. Этот треугольник показан отдельно на рис. 8. Он иллюстрирует правило сложения перемещений. В математике по такому закону складываются величины, называемые векторами. Вектор характеризуется своим модулем, равным длине соответствующего направленного отрезка, и направлением в пространстве.
§ 5. ОДНОВРЕМЕННЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СЛОЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
21
Сложение векторов можно выполнять как по правилу треугольника (рис. 8а), когда начало второго вектора примыкает к концу первого, а сумма замыкает образуемый ими треугольник, так и по правилу параллелограмма (рис. 86), построенного на складываемых векторах. В этом случае сумма изображается диагональю параллелограмма. Для выполнения сложения по правилу параллелограмма второй из складываемых векторов нужно изобразить выходящим из той же точки, что и первый, сохранив его модуль и направление. Правило треугольника особенно удобно применять, когда приходится последовательно складывать большое число векторов. В этом случае достаточно лишь соединить начало первого из складываемых векторов с концом последнего (рис. 9).
Итак, перемещение — это вектор: два последовательных перемещения частицы эквивалентны одному перемещению, равному их векторной сумме. Рассчитать модуль и направление результирующего перемещения можно по известным правилам геометрии. Векторы обозначаются стрелкой над соответствующей буквой либо набираются жирным шрифтом. Модуль вектора обозначается той же буквой без стрелки либо тонким (обычным) шрифтом.
• Вы делаете три шага на север, а затем четыре шага на восток. Чему равен модуль результирующего перемещения, т. е. сумма этих семи шагов?
• Докажите, что модуль суммы двух перемещений не превосходит суммы модулей составляющих перемещений. В каком случае модуль суммы равен сумме модулей слагаемых перемещений?
• Как найти сумму трех последовательных перемещений? Обобщите сложение векторов по правилу треугольника на случай нескольких перемещений.
• Докажите, что результат сложения перемещений не зависит от последовательности, в которой происходят эти перемещения.
§ 5. Одновременные перемещения. Сложение перемещений
Мы знаем, как складываются перемещения, происходящие последовательно. А как складываются перемещения, когда тело одновременно участвует в нескольких движениях? Рассмотрим следующий пример. Паром переправляет пассажиров с одного берега фиорда на другой. Стоящий в его левом углу пассажир совершает вместе с паромом перемещение а относительно берегов и попадает из точки А в точку А1 (рис. 10а). Если бы паром стоял на месте,
a+b+c+d
Рис. 9. Сложение большого числа векторов
22
I. КИНЕМАТИКА
а человек пересек бы его наискосок, то он совершил бы относительно берегов перемещение b и попал бы из точки А в точку Аг (рис. 10б). А теперь рассмотрим такую ситуацию: паром пересекает фиорд, а человек в это время пересекает паром наискосок.
Рис. 10. Пример сложения одновременных перемещений (переправа на пароме)
Где он окажется в результате одновременного участия в этих двух движениях? Опыт показывает, что человек попадет в точку А3, т. е. совершит относительно берегов перемещение с, равное сумме векторов а и Ь: с = а + b (рис. 10s). В физике это утверждение иногда называют принципом независимости перемещений.
Независимость перемещений. Такой же результат получится и в случае, когда сначала паром пересечет фиорд и только после его причаливания пассажир пересечет паром наискосок, и в случае, когда сначала человек пересечет наискосок неподвижный паром и только затем паром переправит его на другой берег. Во всех этих случаях человек попадет в одну и ту же точку А3. Его результирующее перемещение относительно берегов будет одним и тем же независимо от последовательности выполнения отдельных составляющих перемещений. С математической точки зрения это означает, что векторное сложение перемещений коммутативно — его результат не зависит от порядка слагаемых: а + b = b + а.
Задача
Переправа на пароме. Ширина фиорда s = 300 м. Квадратный паром со стороной / = 40 м переправляется поперек фиорда. За время переправы пассажир, двигаясь из точки А (рис. 11) наискосок парома, успевает дойти до его середины. Найдите перемещение пассажира относительно берегов.
