Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Трехмерное пространство, как и рассмотренное двумерное, также может быть искривленным, описываемым неевклидовой геометрией. Поэтому только на опыте может быть решен вопрос
о том, какова геометрия реального трехмерного физического пространства. Первым это осознал гениальный немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс, который еще в 1821 — 1823 гг. предпринял попытки с помощью геодезических приборов найти сумму углов треугольника, образованного удаленными вершинами трех гор. Ни в этих, ни во всех последующих экспериментах отклонения геометрии физического пространства от евклидовой не было обнаружено.
• Будет ли для прямоугольного треугольника на двумерной искривленной поверхности справедлива теорема Пифагора?
• При каких условиях нашим двумерным существам было бы трудно обнаружить на опыте искривление своего пространства?
• Мы живем на поверхности земного шара, т. е. фактически в тех же условиях, что и наши воображаемые двумерные существа. Как же мы можем утверждать, что геометрия реального физического пространства евклидова? а
§ 6. Средняя скорость
Вернемся к рис. 6, где было введено понятие радиуса-вектора и траектории. Видно, что радиус-вектор г2, соответствующий положению частицы в момент времени t2, равен векторной сумме радиуса-вектора Гц соответствующего положению частицы в момент t{, и вектора перемещения за промежуток времени t2 — tl. Обозначив это перемещение через Дг, можем написать
Г2 = Г! + АГ. (1)
С равенствами, содержащими в качестве своих членов векторы, можно обращаться по тем же правилам, что и с равенствами, содержащими обычные числа. В частности, отдельные слагаемые можно переносить в другую часть равенства, изменяя перед ними знак на противоположный. Знак «минус» перед обозначением некоторого вектора (т. е. умножение на —1) означает, что его направление изменяется на противоположное.
26
I. КИНЕМАТИКА
Вектор средней скорости. Перенесем в равенстве (1) rt в левую часть. Тогда
г2 ~ ri = Аг-
Таким образом, перемещение Аг за промежуток времени At = t2 — ty можно рассматривать как разность радиусов-векторов частицы в моменты t2 и tv Отношение перемещения Аг к промежутку времени At, в течение которого оно произошло, называется средней скоростью на промежутке At:
v =— (2)
vcp д f 4 >
Вектор vcp направлен в ту же сторону, что и перемещение Аг, так как At > 0 — момент времени 1г по определению более поздний, нежели tv
Рис. 13. вектор средней скорости длина отрезка, изображающего вектор за промежуток времени to — f,
vcp на рис. 13, никак не связана с длиной вектора Аг. Эти физические величины, как говорят, имеют разную размерность, и длины соответствующих векторов измеряются в совершенно разных единицах: Аг — в метрах, a Ar/At — в метрах в секунду. Поэтому и масштабы для изображения длин и скоростей выбираются независимо.
Средняя скорость характеризует быстроту, с которой совершается перемещение. Эта характеристика движения относится к определенному промежутку времени. Поэтому даже для одного и того же движения она может быть совершенно различной, если выбирать разные промежутки времени. Например, средняя скорость бегуна на длинную дистанцию равна нулю, если ес определять за время пробегания целого круга стадиона, и отлична от нуля за половину круга. Так будет и в том случае, когда спортсмен бежит равномерно.
Пройденный путь. Обращение в нуль средней скорости за целое число кругов связано с векторным характером этой физической величины. Наряду с ней рассматривают и среднюю скорость прохождения траектории. Будем называть пройденным частицей путем длину As отрезка траектории между двумя ее последовательными положениями. Путь — это скалярная положительная величина.
Сравним между собой пройденный за некоторый промежуток времени путь As с модулем перемещения Аг за то же время. В случае криволинейной траектории путь больше модуля соответствующего перемещения, так как длина дуги всегда больше длины стягивающей ее хорды (рис. 13). Путь и модуль перемещения совпадают только при прямолинейном движении в одном направлении.
§ 6. СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ
27
Средняя скорость прохождения пути определяется как отношение пройденного пути к соответствующему промежутку времени:
K)cp = f7- С3)
Именно эту физическую величину имеют в виду, когда говорят, например, что спортсмен пробежал дистанцию со средней скоростью 6,5 м/с.
Задачи
1. Средняя скорость на всем пути. Первую половину пути автомобиль прошел со средней скоростью vt = 40 км/ч, вторую половину пути — со средней скоростью v2 = 60 км/ч. Чему равна средняя скорость за весь путь?
Решение. Первым побуждением может быть желание сложить эти средние скорости и поделить сумму пополам, что дало бы значение 50 км/ч. Однако это неверно! По определению (3) для нахождения (vs)cp нужно весь путь 5 поделить на полное время движения <:
