Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 172. В начальный момент растянута только левая половина пружины
288
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Таким образом, использованная при рассмотрении колебаний груза на пружине модель правильно описывает систему лишь в отсутствие колебаний пружины как распределенной системы. Несмотря на то, что эти колебания быстро прекращаются и не влияют на дальнейшее движение груза, они могут сильно отразиться на энергетических превращениях в системе.
• В чем проявляется неоднородность начальной деформации пружины при собственных колебаниях подвешенного на ней груза?
• Придумайте пример такой начальной деформации пружины, при которой большая часть энергии ее деформации превращается в теплоту, а не в энергию колебаний, д
§ 43. Собственные колебания в разных физических системах
Рассмотрим на конкретных примерах проявления общих закономерностей физики собственных колебаний, представив этот материал в виде отдельных задач.
1. Смещенное равновесие. В условиях задачи о падении кольца на прикрепленный к пружине диск найдите частоту и амплитуду колебаний диска вместе с прилипшим к нему кольцом.
Решение. Очевидно, что дополнительный груз в виде прилипшего к диску кольца приводит к дополнительному смещению вниз на mg/k положения равновесия, которое и до того было смещено весом самого диска. Этот сдвиг положения равновесия не влияет на частоту собственных колебаний, как это было выяснено в § 41. Частота колебаний со0 определяется отношением жесткости пружины к полной массе висящего на ней груза, поэтому
Легко сообразить, что амплитуда колебаний равна квадратному корню в выражении (3) приведенного выше решения этой задачи, поскольку именно этот корень дает значение максимального смещения диска вверх и вниз относительно нового положения равновесия, которое сдвинуто от старого вниз на mg/k. Таким образом, ________________________
Для нахождения амплитуды колебаний, в принципе, не было необходимости обращаться к упомянутой формуле (3). Выяснив, что в системе возникают собственные гармонические колебания с частотой (1), можно непосредственно записать общее выражение для смещения x(t) из нового положения равновесия:
Задачи
ш° 11м + т'
(1)
(2)
x(t) = A cos (ш01 + а).
(3)
§ 43. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РАЗНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 289
Значение скорости t>(t) в любой момент времени получается из (3) дифференцированием функции x(t) по времени:
t>(^) = x(t) = — Аи>0 sin (со0^ + а). (4)
Для нахождения амплитуды А и начальной фазы а следует подставить в (3) и (4) начальные условия, т. е. смещения *(0) и скорости *(0) при t = 0, соответствующему моменту прилипания падающего кольца к диску. Если ось л направлена вниз, то начальное смещение *(0) равно, очевидно, —mg/k:
х(0) = -!f. (5)
Начальное значение скорости t>(0) можно, как и раньше, определить, применяя закон сохранения импульса для неупругого удара кольца о диск:
т
v(0) =х(0) = V =
т+М
yflgh
(6)
Таким образом, для нахождения А и а получаем следующую систему уравнений:
A cos а =
mg к '
-Лсо0 sin а =
т+М
'TTgh.
(7)
Возводя эти уравнения в квадрат и складывая почленно, приходим с учетом (1) к формуле (2) для амплитуды колебаний. Разделив почленно второе из уравнений (7) на первое, получаем значение тангенса начальной фазы:
tg
g т + М
= а>о
2h 8
(8)
¦///////////// /////////////.
2. Осциллятор с двумя пружинами. С какой частотой со0 будет совершать малые вертикальные колебания в поле тяжести груз массы т, подвешенный на двух одинаковых пружинах жесткости к, образующих в равновесии углы |3 с вертикалью (рис. 173)?
Решение. Интуитивно ясно, что при смещении груза из положения равновесия по вертикали вниз или вверх в системе возникнут колебания около положения равновесия. Чтобы найти частоту этих колебаний, нужно установить связь между смещением груза из положения равновесия и возникающей при этом возвращающей силой.
Пусть, например, груз смещен вниз на малое расстояние х. Из рис. 173 видно, что дополнительное удлинение Д/
каждой из пружин при этом будет связано со смещением л груза по
вертикали соотношением
ДI = х cos р. (9)
Возникающая при таком растяжении дополнительная сила упругости к Д/ в каждой из пружин направлена вдоль ее оси, а их равнодействующая F направлена вертикально вверх и по модулю равна
F = 2kAlcosfi. (10)
Рис. 173. Колебания груза на двух пружинах
290
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Подставляя сюда Д/ из (9), получаем связь возвращающей силы со смещением дг груза. Поскольку равнодействующая сила направлена противоположно смещению, эта связь имеет вид
