Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому площадь области контакта
5=ял2=2пЯл:(1—х/2 R). (2)
Нужно ли учитывать изменение давления воздуха в мяче при его деформации? Относительное уменьшение объема
мяча ДУ/У оказывается величиной порядка (x/R)2. Поэтому если мы, считая деформацию мяча х малой по сравнению с его радиусом
Рис. 28.2. К нахождению сил, действующих на мяч при ударе
Рис. 28.3. К определению размера области контакта мяча со стенкой
R(x<LR), будем при вычислении площади S в (2) отбрасывать малое по сравнению с единицей слагаемое х/2R, то нужно тем более пренебречь изменением давления, пропорциональным (x/R)2.
Таким образом, полная сила F, действующая на мяч во время удара, пропорциональна деформации мяча х:
F= (p—p0)S=2nR(p—p0)x=kx. (3)
Движение центра мяча при действии такой силы должно представлять собой гармоническое колебание с частотой, определяемой соотношением
k 2лR ip—ра)
or
(4)
где т — масса мяча. Так как деформация мяча при ударе
118
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
о стенку может представлять собой только сжатие, которое не сменяется его растяжением (так как мяч просто отскакивает от стенки), то это «колебание» продолжается только в течение половины периода Т. Таким образом, длительность удара мяча о стенку
Время столкновения футбольного мяча со стенкой тем меньше, чем больше давление воздуха р внутри мяча, но не зависит от скорости мяча перед ударом и„. Максимальная сила, с которой мяч действует на стенку, разумеется, зависит от скорости мяча. В момент наибольшей деформации мяча вся его кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию деформации:
Отсюда можно найти максимальную деформацию мяча jc0:
где к подставлено из соотношения (4).
Приведем числовые оценки. Пусть масса мяча тда0,4 кг, радиус /?л;0,15м, а давление воздуха в мяче превышает атмосферное на одну атмосферу: р~р0=1 атм= 1,013 -106 Па. Подставляя эти данные в формулу (5), получаем тя» «6,4-Ю-3 с. Длительность столкновения оказалась менее сотой доли секунды. Чтобы оценить деформацию мяча при ударе, нужно задать еще его скорость перед ударом. Считая ее равной примерно 15 м/с, с помощью формулы (7) находим, что максимальная деформация хй составляет примерно 3 см. Максимальное значение силы, действующей на стенку в момент остановки мяча, равно, в соответствии с формулой (3), 2800 Н. а
29. Отражение от стенки. Под каким углом отскакивает футбольный мяч от стенки?
А Задача, разумеется, тривиальная, если считать, что удар абсолютно упругий, а стенка и мяч идеально гладкие. Тогда трение между мячом и поверхностью стенки отсутствует и угол отражения $ равен углу падения а (рис, 29.1).
(5)
mvo kxo
~~2~ Т'
(6)
Р)
29. ОТРАЖЕНИЕ ОТ СТЕНКИ
119
Совсем иначе обстоит дело, если мяч и стенка шероховатые, так что пренебрегать трением уже нельзя. Однако и в этом случае легко найти угол отражения, если известен коэффициент трения ц мяча о поверхность стенки.
Будем рассуждать следующим образом. Разложим вектор скорости поступательного движения мяча до удара v на две составляющие: направленную перпендикулярно
поверхности стенки, и направленную вдоль поверхнос-
ти (рис. 29.2). Обозначим соответствующие скорости мяча после отскока через v'L и v\. Перпендикулярная составляющая скорости мяча при ударе о стенку меняет свое направление на противоположное, оставаясь неизменной по модулю. Параллельная же составляющая скорости, вообще говоря, изменяется по модулю.
Рис. 29.1. Отскок мяча от стенки
Рис. 29.2. Разложение на составляющие скорости мяча до и после удар а
/V
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим силы, действующие на мяч со стороны стенки при ударе (рис. 29.3). Направленная по нормали к стенке сила N — это сила упругости, возникающая при деформации мяча. Деформацию хорошо накачанного мяча можно считать упругой, после удара мяч восстанавливает свою форму. Поэтому энергия упругой деформации мяча после удара снова перейдет в кинетическую энергию.
Другими словами, часть кинетической энергии мяча, связанная с его движением по нормали к стенке, остается неизменной.
Изменение составляющей скорости, параллельной поверхности, происходит под действием силы трения. Эта сила направлена в сторону, противоположную скорости точек поверхности мяча в месте соприкосновения со стенкой. Если мяч до удара не вращался, то скорости этих точек равны
'/////////7W/7?
Рис. 29.3. Силы, действующие на мяч во время удара
120
П. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
ю„, и действие силы трения приводит к уменьшению модуля v ц . Это значит, что угол отражения (i меньше угла падения а. Именно этот случай и изображен на рис. 29.1 и 29.2. Сила трения может и увеличивать значение если до удара о стенку мяч вращался в направлении, указанном на рис. 29.4. При достаточно быстром вращении мяча («/?>•
