Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
102
11. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Поэтому очевидно, что упругие свойства тела играют определенную роль при столкновении.
Итак, можно ожидать, что длительность удара зависит от модуля Юнга материала тела Е, его плотности р и его геометрических размеров. Возможно, что длительность удара т зависит и от скорости v, с которой тело налетает на преграду.
Нетрудно убедиться, что оценить время столкновения с помощью одних только соображений размерности не удастся. Действительно, если даже взять в качестве налетающего тела шар, размеры которого характеризуются только одним параметром — радиусом R, то из величин Е, р, R и v можно составить бесчисленное множество выражений, имеющих размерность времени:
Е 1
ТГ
0)
где / — произвольная функция безразмерной величины ри2/?. Поэтому для нахождения т необходимо динамическое рассмотрение. Проще всего такое рассмотрение провести для тела, имеющего форму длинного стержня.
Рис. 24.2. Распространение волны упругой деформации в стержне при ударе о стенку. Фронт волны деформации движется со скоростью звука и
Пусть стержень, движущийся со скоростью v, налетает торцом на неподвижную стенку. При соприкосновении торцевого сечения стержня со стенкой скорости лежащих в этом сечении частиц стержня мгновенно обращаются в нуль. В следующий момент времени останавливаются частицы, расположенные в соседнем сечении, и т. д. Участок стержня, частицы которого к данному моменту уже остановились, находится в деформированном состоянии. Дру-
24. ДЛИТЕЛЬНОСТЬ УДАРА
103
гими словами, в этот момент времени деформированной оказывается та часть стержня, до которой дошла волна упругой деформации, распространяющаяся по стержню от места контакта с преградой. Эта волна деформации распространяется по стержню со скоростью звука и. Если считать, что стержень пришел в соприкосновение со стенкой в момент времени t—0, то в момент времени t длина сжатой части стержня равна ut. Эта часть стержня на рис. 24.2а заштрихована. В пезаштрихованной части стержня скорости всех его частиц по-прежнему равны у, а в сжатой (заштрихованной) части стержня все частицы покоятся.
Первый этап процесса столкновения стержня со стенкой закончится в тот момент, когда весь стержень окажется деформированным, а скорости всех его частиц обратятся в нуль (рис. 24.26). В этот момент кинетическая энергия налетающего стержня целиком превращается в потенциальную энергию упругой деформации. Сразу после этого начинается второй этап столкновения, при котором стержень возвращается в недеформированное состояние. Этот процесс начинается у свободного конца стержня и, распространяясь по стержню со скоростью звука, постепенно приближается к преграде. На рис. 24.2s стержень показан в тот момент, когда незаштрихованная часть уже не деформирована и все ее частицы имеют скорость и, направленную влево. Заштрихованный участок по-прежнему деформирован, и скорости всех его частиц равны нулю.
Конец второго этапа столкновения наступит в тот момент, когда весь стержень окажется недеформированным, а все частицы стержня приобретут скорость v, направленную противоположно скорости стержня до удара. В этот момент правый конец стержня отделяется от преграды: недеформи-рованный стержень отскакивает от стенки и движется в противоположную сторону с прежней по модулю скоростью (рис. 24.2г). Энергия упругой деформации стержня при этом целиком переходит обратно в кинетическую энергию.
Из изложенного ясно, что длительность столкновения т равна времени прохождения фронта волны упругой деформации по стержню туда и обратно:
т=2 Ни, (2)
где I — длина стержня.
Определить скорость звука в стержне и можно следующим образом. Рассмотрим стержень в момент времени t (рис. 24.2а), когда волна деформации распространяется вле-
104
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
во. Длина деформированной части стержня в этот момент равна ut. По отношению к недеформированному состоянию эта часть укоротилась на величину vt, равную расстоянию, пройденному к этому моменту еще недеформированной частью стержня. Поэтому относительная деформация этой части стержня равна v/u. На основании закона Гука
где S — площадь поперечного сечения стержня, F — сила, действующая на стержень со стороны стенки, Е — модуль Юнга. Поскольку относительная деформация v/u одинакова во все моменты времени, пока стержень находится в контакте с преградой, то, как видно из формулы (3), сила F постоянна. Для нахождения этой силы применим закон сохранения импульса к остановившейся части стержня. До контакта с преградой рассматриваемая часть стержня имела
импульс pSut-v, а в момент времени t ее импульс равен пулю. Поэтому
pSut-v—Ft. (4)
Подставляя отсюда силу F в формулу (3), получаем
u = V Е/р. (5)
Теперь выражение для времени т столкновения стержня со стенкой
(2) принимает вид
