Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
mv1=MVi. (6)
Закон сохранения энергии для первого удара запишется в виде
mv2 _ mvi М(
~2~” 2 ~2 ' ' '
Выражая V из уравнения (1), Ух из уравнения (6) и подставляя в (7), получаем
, , М — т 0.
v\ = v —jrz :— . (8)
1 М +m v '
Видно, что значение вертикальной скорости отскочившего шара уь даваемое выражением (8), меньше значения vt из прежнего ответа (5). Это и понятно, иботеперь клин после первого удара имеет кинетическую энергию, связанную не только с его движением по горизонтали, но и по вертикали. Конечно, приобретя вертикальную составляющую скорости в результате первого удара, клин не успевает переместиться по вертикали, так как сразу же происходит второе столкновение — клина с Землей. Так как по условию после столкновения клин скользит по горизонтали (а не подскакивает вверх), то его столкновение с Землей следует считать неупругим. Вертикальная скорость клина гасится при этом столкновении, а соответствующая часть кинетической энергии клина превращается в тепло.
100 II. динамика и законы сохранения
Если бы удар клина о Землю был абсолютно упругим, то вертикальная составляющая скорости клина Ух изменила бы свое направление на противоположное и клин подскочил бы вверх на некоторую высоту вслед за шаром.
Значение скорости отскочившего шара vx из (8) также удовлетворяет предельному случаю т<^М, когда i\=v. Такое решение этой задачи тоже встречается в некоторых задачниках. Сравнивая ответы (5) и (8), мы видим, что по их форме трудно отдать предпочтение какому-либо из приведенных решений. Действительно, оба они удовлетворяют предельному условию т<^М. Обратим внимание ка то, что как формула (5), так и формула (8) имеют смысл только при т<.М, т. е. когда масса клина больше, чем масса шара. Это означает, что при М<.гп шар не может отскочить от клина вертикально вверх. Поэтому и условие задачи будет непротиворечивым, только если шар легче клина.
Этот вывод связан с тем, что в общем случае при упругом столкновении движущегося тела с неподвижным изменение направления движения налетающего тела в результате удара может быть любым только тогда, когда масса налетающего тела меньше массы «мишени». Если же масса «снаряда» т больше, чем масса «мишени» М, то «снаряд» не может отклониться на угол, превышающий фтах, который находится из соотношения
sin Фтах — м/т.
При М<.т этот предельный угол всегда меньше л/2.
Итак, сама форма ответов не дает возможности выбрать из них правильный. Соответствие предельным случаям — это необходимое условие правильности ответа, но, разумеется, недостаточное. Можно попробовать поставить дополнительные вопросы, ответ на которые помог бы выбрать правильное решение. Например, здесь можно задать вопрос, какой угол а должна составлять наклонная грань клина с горизонтальной, чтобы шар действительно отскочил вертикально вверх.
Построим вектор изменения импульса шара при столкновении Дp=mVi—mv (рис. 23.3). Это изменение импульса вызывается силой, действующей на шар со стороны наклонной грани клина. Поскольку удар упругий и трение отсутствует, то эта сила обязательно направлена перпендикулярно поверхности клина. Теперь из рис. 23.3 сразу видно, что tg а=и/их. Так как v1<v, то а^л/4, где знак равенства соответствует предельному случаю.
24. ДЛИТЕЛЬНОСТЬ УДАРА
101
Значение в приведенных двух решениях задачи получилось разным, поэтому разным будет и угол а. Однако предельное значение а при т<^М в обоих случаях одинаково, и мы опять не можем отдать предпочтение одному из ответов.
Так какой же ответ все-таки правильный? Чтобы разобраться в этом, придется внимательно проанализировать условия применимости тех допущений, которые были сделаны при решении задачи.
Для этого необходимо гораздо
глубже вникнуть в механизм энергетических превращений при упругих столкновениях. Поэтому сначала в нескольких следующих задачах будут рассмотрены более простые примеры, а затем мы вернемся к поставленному вопросу. ^
24. Длительность удара. Оценить время упругого удара твердых тел, рассматривая столкновение стержня, налетающего торцом на неподвижную недеформируемую стенку (рис. 24.1).
Рис. 23.3. К вычислению угла наклона грани клина
Рис. 24.1. Столкновение стержня со стенкой
Д В предыдущей задаче мы считали, что упругий удар твердых тел происходит мгновенно. Но совершенно очевидно, что это предположение является идеализацией. Столкновение реальных тел всегда занимает конечный промежуток времени т. В самом деле, если бы изменение импульса тела при столкновении происходило мгновенно, то сила взаимодействия тел при ударе была бы бесконечно большой, чего, естественно, не бывает. От чего же может зависеть длительность столкновения? Допустим, что мы рассматриваем отражение упругого тела от недеформируемой стенки. При столкновении кинетическая энергия тела в течение первой половины столкновения превращается в потенциальную энергию упругой деформации тела. В течение второй половины происходит обратное превращение энергии деформации в кинетическую энергию отскакивающего тела.
