Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Л Проще всего ответить на поставленные вопросы, используя законы сохранения импульса и энергии. Однако в данном случае одних законов сохранения недостаточно. Необходимо еще использовать кинематическую связь между скоростями клина и бруска, выражающую условие того, что движение бруска происходит именно по поверхности клина.
Обозначим горизонтальную и вертикальную составляющие скорости бруска относительно земли через vx и vv, а
af"
vw/MW/wwww/m//)///
Рис. 8.2. Скорость бруска относительно клина направлена вдоль поверхности клина
Рис. 8,3. Вектор скорости v и траектория бруска (пунктир) относительно земли
скорость клина в тот же момент времени через —V. Поскольку при соскальзывании бруска клин движется налево, то горизонтальная составляющая скорости бруска относительно клина равна vx+V (рис. 8.2). Полная скорость бруска относительно клина должна быть направлена вдоль его поверхности, поэтому с помощью рис. 8.2 сразу находим
v„=(vx+V)tga. (1)
Это и есть искомое кинематическое соотношение.
9. ШАРИКИ НА ДЛИННОЙ НИТИ
53
Вектор скорости бруска относительно земли v образует угол Р с горизонтом, тангенс которого равен отношению vy/vx (рис. 8.3). Поэтому с помощью соотношения (1) имеем
Величины vx и V можно связать с помощью условия сохранения горизонтальной составляющей импульса системы, которое выражает тот факт, что центр масс системы не перемещается в горизонтальном направлении:
Соотношение (3) позволяет переписать формулу (2) для tg |3 в виде
На рис. 8.3 пунктиром показана траектория бруска относительно земли. Если масса бруска много меньше массы клина, т. е. /пШ<С 1, то из формулы (4) получаем р«а. Так и должно быть, ибо в этом предельном случае клин практически не приходит в движение. В другом предельном случае т/М1 угол |3«я/2: легкий клин выскальзывает из-под тяжелого бруска, который падает практически отвесно.
Осталось найти только горизонтальную скорость клина в момент, когда брусок соскользнет до его основания. Это можно сделать, если воспользоваться еще и законом сохранения механической энергии. Поскольку трение отсутствует, первоначальная потенциальная энергия бруска целиком превращается в кинетическую энергию бруска и клина:
Подставляя в это уравнение сначала vy из выражения (1), а затем vx из закона сохранения импульса (3), находим
Рассмотрите сами получающиеся из формулы (6) выражения в предельных случаях т/Л4< 1 и т/М^> 1 и объясните результаты. А
9. Шарики на длинной нити. На очень длинной нити подвешен шарик массы rrii, к которому на нити длиной I
tg §=vylvx={\ + Vlvx) tg а.
(2)
mvx=MV.
(3)
tg P=(l+m/M)tg а.
(4)
2 •
(5)
2gh
(6)
54
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
подвешен шарик массы тг (рис. 9.1). Какую начальную скорость v0 в горизонтальном направлении нужно сообщить нижнему шарику, чтобы соединяющая шарики нить
отклонилась до горизонтального положения?
Д Какое значение имеет то обстоятельство, что верхний шарик подвешен на очень длинной нити? Это значит, что он движется практически по горизонтальной прямой, а сама длинная нить остается вертикальной. Если это осознать, то дальнейшее решение не должно вызывать принципиальных затруднений. Все действующие на систему внешние силы— сила натяжения верхней нити и силы
тяжести, действующие па шарики,— направлены по вертикали, поэтому горизонтальная составляющая полного импульса системы сохраняется. В тот момент, когда шарики окажутся на одинаковой высоте, горизонтальная составляющая иг скорости второго шарика будет равна скорости первого шарика. Это следует из нерастяжимо-сти соединяющей их нити. Поэтому сохранение горизонтальной составляющей импульса системы можно записать в виде
rriiVo^inh+mJVr. (!)
Обозначив вертикальную составляющую скорости нижнего шарика через запишем также уравнение закона сохранения механической энергии:
m2vl {nii + mjvl , т2Чв , ,оч
—2— =--------2------'---2---'~тчё1-
Из уравнения (2) видно, что минимальное значение скорости Vo соответствует случаю, когда вертикальная составляющая vB в интересующий нас момент обращается в нуль: ув=0. Подставляя в (2)
yr=i;om2/(m1+m2)
из (1), получаем
Vo ш-.п = /2g/(l + mjm(3)
Если нижний шарик гораздо легче верхнего, т. е. ш2<с ¦С/Их, верхний шарик остается практически неподвижным. В этом предельном случае формула (3) дает правильное
miQ i
-----?О
Рис. 9.1. На-чальное положение нити с шариками
10. ПУЛЯ ПРОБИВАЕТ ШАР
55
значение начальной скорости v0min—\r2gl, очевидное и из элементарных соображений. Если же то
наличие легкого шарика т1 практически никак не сказывается на движении нити с тяжелым шариком т2 (система как бы «не замечает» присутствия легкого шарика). При этом соединяющая шарики нить займет горизонтальное положение лишь тогда, когда вся длинная нить отклонится до горизонтали, т. е. при u0mia — V2gL, где L — суммарная длина обеих нитей. Ясно, что формула (3) в этом случае неприменима, так как она получена в предположении, что верхняя нить все время остается вертикальной. А
