Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
если коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен (I?
Л Рассмотрим сначала простейший частный случай, когда плоскость покоится или движется равномерно (а=0). При этом поведение бруска исследуется очень просто. Если ji^tg а, брусок покоится на наклонной плоскости, при (i<tg а брусок ускоренно соскальзывает вниз.
Выясним теперь, при каком условии брусок будет неподвижно лежать на наклонной плоскости при ее ускоренном движении. Очевидно, что ускорение бруска при этом должно совпадать с ускорением плоскости. Для этого необходимо, чтобы векторная сумма всех сил, действующих на брусок, была равна произведению его массы на ускорение а. На брусок действуют сила тяжести mg, сила реакции наклонной плоскости N и сила трения покоя F. Напомним, что сила трения покоя может изменяться от нуля до максимального значения, равного \iN. Направлена она может быть как вверх, так и вниз вдоль наклонной плоскости. Если ускорение плоскости а0 таково, что mg+N~ —та0, то сила трения отсутствует: F—0 (рис. 7.2а). Это, конечно, не значит, что доска вдруг стала гладкой! Просто при а=а0 относительная скорость бруска и поверхности
50
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
равна нулю и в отсутствие силы трения, и поэтому сила трения не возникает. Из рис. 7.2а видно, что a0=g tg а.
Если ускорение наклонной плоскости а немного меньше а0, то в отсутствие трения, т. е. при ц=0, брусок соскальзывал бы вниз; при [а=7^=0 возникает сила трения, направленная вверх вдоль наклонной плоскости, и брусок остается неподвижным. Но поскольку сила трения покоя не
Рис. 7.2. Силы, действующие на брусок, при разных ускорениях наклонной плоскости
может превышать \iN, то при достаточно малом ускорении плоскости, меньшем некоторого значения а,, брусок будет соскальзывать вниз. Это значение ускорения находится из условия, что сила трения F равна своему максимальному значению \iN и направлена вверх по наклонной плоскости (рис. 7.2б). Составим уравнение движения бруска mg-\-N-\-F=mai и спроецируем его на направления вдоль наклонной плоскости и по нормали к ней: mg sin а—\iN=mat cos а,
N—mg cos a=maj sin a.
Исключая N, находим
Итак, если ускорение плоскости a<iai, брусок соскальзы вает вниз.
sin a—u cos a
a, = о -------------------s-----------.
1 cos a + ц sin a
(2)
8. БРУСОК НА ПОДВИЖНОМ КЛИНЕ
51
Заметим, что при а ускорение аг оказывается
отрицательным. Какой в этом смысл? Напомним, что при j-i^tg а брусок не будет соскальзывать и при а=0 (наклонная плоскость неподвижна или движется равномерно). Брусок не будет соскальзывать и при а<0, когда ускорение плоскости направлено влево, до тех пор, пока модуль ускорения не превзойдет \di\. Действительно, уравнения
(1) справедливы и тогда, когда ускорение аг направлено влево, если под сц понимать его проекцию на горизонтальное направление.
Таким образом, мы нашли условие соскальзывания бруска при любых ^ и а:
sin а — Li cos а
й <С S------———-
& cos а + ц sin а
Пусть теперь ускорение плоскости а немного больше а0. Тогда при [х=0 брусок перемещался бы вверх вдоль плоскости; при цфО возникает сила трения покоя, направленная вниз вдоль плоскости, и брусок останется неподвижным на плоскости. С ростом а увеличивается и сила трения, и когда ускорение становится таким, что сила трения F достигает своего максимального значения [iN, брусок начинает скользить вверх. Выясним, при каком ускорении плоскости аг сила трения становится равной \iN (рис. 7.2в). Составляя, как и раньше, уравнение движения бруска mg+N+F=ma2 и проецируя его на те же направления:
mg sin a+\iN=ma2 cos a, N—mg cos а =таг sin a, находим
sin a + Li cos a
a—g---------—-------
2 ° cos a — [isina
Итак, если ускорение плоскости a>a2, брусок скользит вверх. Заметим, что аг при ^=ctg а обращается в бесконечность. Это означает, что при ^i^ctga брусок не будет скользить вверх ни при каком ускорении плоскости.
Собирая вместе полученные результаты, можно записать условие неподвижности бруска на наклонной плоскости:
/ sin а + и cos a . ,
sin а — ц cos a g ¦cosa-^sina ’ ^ < ct§ a‘>
6 cos a 4- Lisin a ^ .
( oo, ^^ctga. a
8. Брусок на подвижном клине. На верхнюю часть клина массы М, который может без трения перемещаться
52
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
по горизонтальной поверхности (рис. 8.1), кладут брусок массы т и отпускают без начального толчка. Какую горизонтальную скорость приобретает клин к тому моменту, когда брусок соскользнет до конца? Какой угол с горизонтом составляет вектор скорости бруска v, если угол при основании клина равен а? Высота клина равна h. Трением между бруском и поверхностью клина пренебречь.
Рис. 8.1. В начальный момент брусок и клин неподвижны
