Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
В горизонтальной плоскости на монету действует только сила трения со стороны подставки. Рассмотрим сначала случай, когда монета движется вместе с подставкой. Так как при поступательном движении подставки все ее точки движутся по одинаковым окружностям радиуса г, то и
6. МОНЕТА НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОДСТАВКЕ 47
монета движется по такой же окружности с ускорением соV, направленным к ее центру. Так как это ускорение сообщается монете силой трения покоя, которая не может превышать значения [img, то установившееся движение монеты будет происходить вместе с подставкой при условии со2г<ц^, т. е. при со2г/ц?<1.
При значениях этого безразмерного параметра a2r/\ig> I (т. е. при большей угловой скорости со, или большем радиусе г, или меньшем коэффициенте трения [х) монета будет проскальзывать относительно подставки. В этом
Рис. 6.1. Взаимное расположение векторов скоростей К монеты и и подставки
случае центростремительное ускорение монете сообщает сила трения скольжения, направленная в сторону, противоположную вектору v скорости монеты относительно подставки. При движении по окружности сила перпендикулярна скорости V монеты в инерциальной системе отсчета. Поэтому векторы V и v взаимно перпендикулярны. Скорость V монеты в лабораторной системе отсчета представляет собой векторную сумму скорости монеты v относительно подставки и скорости а той точки подставки, в которой в данный момент находится монета (хотя, разумеется, скорости всех точек подставки одинаковы при се поступательном движении):
V = v + u. (1)
Соотношение (I) графически проиллюстрировано на рис. 6.1, где учтена указанная ортогональность векторов V и V. Из этого рисунка видно, что при проскальзывании монеты ее скорость V в лабораторной системе всегда меньше скорости подставки и=ыг. По условию вектор и поворачивается с угловой скоростью со, поэтому и весь треугольник скоростей на рис. 6.1 вращается как целое, так что взаимное расположение всех векторов остается неизменным. Это означает, что угол а между векторами а и ©фактически характеризует отставание по фазе вектора V скорости монеты от вектора а скорости подставки.
Для определения радиуса R круговой траектории монеты в лабораторной системе отсчета воспользуемся вторым законом Ньютона, т. е. приравняем силу трения сколь-
48
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
жения \xtng произведению массы т монеты на ускорение ю2/?: ц,?=со2/?. Отсюда
R=[igf со2, <огг/ц?>1. (2)
Интересно отметить, что при проскальзывании монеты радиус R траектории движения монеты не зависит от радиуса г окружностей, по которым движутся точки подставки. Однако радиус R, как видно из (2), не превосходит г и становится равным ему только при предельном значении параметра со2л/ц?=1, когда проскальзывание прекращается.
Не представляет труда найти и радиус р окружности, по которой монета движется относительно подставки. Все фигурирующие в формуле (1) скорости связаны с радиусами соответствующих окружностей соотношениями
V=о>7?, и=сор, « = сол (3)
Поскольку треугольник скоростей на рис. 6.1 прямоугольный, то с помощью теоремы Пифагора и соотношений
(3) получаем
л2 = рМR2, откуда р = У г2 — R2. (4)
Подставляя сюда найденное значение R из (2), находим
P = г V 1 — (ц?/со2/-)2, со2л/ц? > 1. (5)
Видно, что радиус р следа, который монета вычерчивает на подставке, также меньше радиуса г траектории движения
подставки.
Соотношение между р и R может быть различным. При «быстром» движении, когда o>V/(xg^> 1, монета в инерциальной лабораторной системе отсчета практически стоит на месте (Жл), а подставка под ней описывает окружности радиуса г, так что р~г. При медленном движении подставки, когда со2л/ц,?^1, монета почти не отстает от подставки, описывая в лабораторной системе отсчета окружности почти такого же радиуса (R^r), так что р^О.
На рис. 6.2 показаны траектория движения монеты в лабораторной системе отсчета (окружность радиуса R)
Рис. 6.2. Траектория движения монеты и ее след на подставке
7. БРУСОК НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
49
и след, который монета вычерчивает на подставке (окружность радиуса р) для случая, когда р. Если монета в лабораторной системе отсчета движется по окружности против часовой стрелки, то относительно подставки ее движение происходит по часовой стрелке.
Представляет интерес рассмотреть фазовый сдвиг а между движением подставки и монеты в рассматриваемых предельных случаях быстрого и медленного движения подставки. Проделайте это самостоятельно, учитывая, что, как следует из рис. 6.1, cos a = V/u=R/r. А
7. Брусок на наклонной плоскости. Наклонная плоскость, составляющая угол ос с горизонтом, движется горизонтально с ускорением а в направлении, указанном на рис. 7.1. Как будет двигаться лежащий на ней брусок,
Рис. 7.1. Наклонная плоскость дви жется с заданным ускорением а
