Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы продвинуться дальше в выяснении вопроса о форме траектории, забудем на время о начальных условиях и задумаемся над таким вопросом: может ли заряженная частица в скрещенных электрическом и магнитном полях двигаться с постоянной скоростью? Очевидно, что для этого полная сила, действующая на частицу, должна быть равна нулю, т. е. магнитная и электрическая силы должны быть равны по величине и противоположны по направлению. Электрическая сила, действующая на положительно заряженную частицу, направлена вдоль оси у, следовательно, магнитная должна быть направлена в отрицательном направлении этой оси. Нетрудно убедиться, что для этого скорость частицы должна быть направлена вдоль оси х. Величина скорости определяется из соотношения
qE = qvB, (12.7)
откуда
<12-8>
Поскольку скорость частицы не может превышать скорости света в вакууме с, то из формулы (12.8) видно, что движение заряженной частицы в скрещенных полях с постоянной скоростью возможно только при E<LcB. В противном случае условие (12.7) не может быть выполнено.
Рассмотрим поведение частицы, движущейся в скрещенных полях с постоянной скоростью, с точки зрения системы отсчета, в которой эта частица покоится (рис. 12.2). Поскольку такая система отсчета К' движется относительно
280
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
исходной системы К равномерно и прямолинейно, то она также является инерциальной. Полная сила (12.1), действующая на покоящуюся в этой системе отсчета частицу, должна быть равна нулю. Но магнитная сила отсутствует, так как частица покоится. Следовательно, должна отсутствовать и электрическая сила. Но это возможно, только если напряженность электрического поля Е' в системе Л'' равна нулю.
Таким образом, мы приходим к выводу, что в системе отсчета К', движущейся относительно исходной системы К с постоянной скоростью V-—E1B вдоль оси х, электрическое поле отсутствует и есть только магнитное поле. Этот пример еще раз иллюстрирует относительный характер электромагнитного поля: напряженность электрического поля и индукция магнитного поля изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Разумеется, мы могли прийти к выводу об отсутствии электрического поля в системе К' и непосредственно с помощью формул преобразования полей (10.5), если с самого начала ограничиться случаем, когда движение частицы происходит со скоростью, малой по сравнению со скоростью света. Вторая из формул (10.5) показывает, что в рассматриваемом случае при v<<cc индукция магнитного поля при переходе в систему отсчета К' практически не меняется: В' = В.
Теперь возвратимся к рассмотрению первоначально покоившейся в системе отсчета К частицы и рассмотрим ее движение с точки зрения наблюдателя в системе отсчета К', где есть только магнитное поле. Очевидно, что начальная скорость этой частицы в системе отсчета К' направлена в отрицательном направлении оси л; и в соответствии с формулой (12.8) равна v=E/B. Как мы видели в предыдущем примере, в однородном магнитном поле заряженная частица равномерно обращается по окружности, если ее скорость перпендикулярна магнитному полю. Радиус окружности R и угловая скорость сое даются соотношениями
Я = —, сос= —. (12.9)
ш с ’ с т v '
Положение окружности, по которой движется частица в системе отсчета Кг, показано на рис. 12.3. Частица с положительным зарядом обращается по часовой стрелке,
S 12. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЁННЫХ ЧАСТИЦ 281
Найдем теперь движение частицы в системе отсчета д. Очевидно, что оно получается в результате сложения равномерного движения точки по окружности и поступательного движения этой окружности со скоростью v по оси х. Легко
Рис. 12.3. В системе отсчета Д" заряд движется по окружности.
&•
1
\ /\
\ ( /
О 2TCR X
Рис. 12.4. В системе отсчета К траектория заряда — циклоида.
сообразить, что точно так же движется та точка обода колеса радиуса R, катящегося без проскальзывания по оси х, которая в начальный момент находилась в начале координат. Траектория такого движения носит название циклоиды. Она изображена на рис. 12.4.
Нетрудно получить зависимость координат частицы от времени. Для этого нужно просто «прокатить» колесо из начального положения по оси х (рис. 12.5) и выразить координаты интересующей нас. точки А через угол поворота колеса q; = co,i. При качении без проскальзывания длина дуги AD равна длине отрезка OD, поэтому
х (/) = R (соct —sin соct),
У (0 = R (1 —cos соct),
где R и со?, определяются формулами (12.9).
Приведенное рассмотрение справедливо и для частицы с отрицательным зарядом. Такая частица в магнитном поле обращается по окружности против часовой стрелки, но центр окружности перемещается по-прежнему в направлении оси х. Траектория в этом случае является зеркальным отражением в плоскости г/=0 кривой на рис. 12.4.
