Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Множество значений и и v, при которых кривая Fu и прямая L- пересекаются, определяет область определения вспомогательного отображения Т.
Если кривая Fu и прямая L- пересекаются при всех значениях и и v не более чем в одной точке, то вспомогательное отображение Т однозначное. Напротив, возможность нескольких пересечений говорит о многозначности вспомогательного отображения. При наличии нескольких точек пересечения кривой Fu и прямой L- они разделяются точками максимума и минимума кривой Fu. Преобразование Т прямую и = const отображает в кривую Fu. Точкам максимума и минимума кривой Fu на этой прямой и = const соответствуют точки (и, V), в которых
gv(u, V) = 0. (7.57)
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
295
Пусть кривые, определяемые этим уравнением, разбивают область определения G отображения Т на части Gy, G2, . . ., Gm. Обозначим через Ts сужение отображения Т на область Gs, в соответствии с чем запишем отображение Т в виде
Т (и, v) = Ts (и, и), если (и, v) е Gs. (7.58)
Каждое из отображений Те, согласно предыдущему, имеет однозначное вспомогательное отображение Тs. Это означает, что многозначное вспомогательное отображение Т распадается на несколько однозначных вспомогательных отображений Тх, Тг,...
Т
• • • » 1 ТП*
По ясним сказанное на при-мере отображения Т, пре-образующего_прямоугольник G в область G, как это показано на рис. 7.54. Соответствующие друг другу_точки границ областей G и G обозначим буквами а, Ь, с,... и а,
Ъ, с,... соответственно. При этом координатные линии
и = const преобразуются в изображенные на этом рисунке кривые Fu. Минимумы кривых Fu лежат на линии И, являющейся образом кривой kl, разбивающей область G на две части G (ablk) и (?2 (clkd). В соответствии с этим вспомогательное отображение Т двузначно и распадается на два однозначных отображения 7\ и Т\. При этом Т1 (/’а)—однозначное вспомогательное отображение для сужения (Т2) отображения Т, преобразующего область Gx (G2) в область Gx (ablk) (G2 (clkd)). Прямоугольник G заведомо лежит внутри областей определения вспомогательных отображений Тх и Т2. Вспомогательные отображения и Т2 преобразуют область G в лежащие в ней области Gx и G.z (рис. 7.55). Действительно, часть Координатной линии и — const, лежащая в области преобразуется в часть кривой Fu, лежащую в Gt. Для вспомогательного отображения Tt это соответствует преобразованию линии и = const (г; меняется) в кривую, пробегаемую точкой (й, и), которая все время расположена внутри области Gt.
d в , v,v 1
й 6 с
а 11111
G2 1111\ Uil4
им
к 1
Uf \\\\\
а \\V\vr b
к
Рис. 7.54
2% МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
Заметим, что изменения отображения Т, приводящие к изменениям области G и кривых Fи вне области G, не окажут влияния на вид вспомогательных отображений Т и Т2 в области G. Поэтому, в частности, эти вспомога-
тельные отображения будут ний, преобразующих область на рис.7.56.При изменениях вида области G, в которую отображение Т преобразует область G, изображенных
v,v ,
q2
к им
1
0
Рис. 7.55
такими же и для отоораже-G в область G, изображенных
на рис. 7.57, а, б, вспомогательное отображение Т в области G будет уже более чем двузначным. Однако по-прежнему среди однозначных отображений, на которые оно распадается, будут отображения Тг и Т2, которые преобразуют область G в расположенные в ней области и и которые зависят только от той части отображения Т, которая преобразует область G в нее же.
В приводимых выше примерах отображений Т и вспомогательных к ним отображений Т отображение Т не имеет областей, которые бы оно преобразовывало в себя, в то время как для вспомогательного отображения Т такие области имеются. Поэтому вспомогательное отображение допускает применение к нему описанных выше общих признаков существования неподвижной точки. Полезность этого применения в том, что неподвижные точки отображений Т и Т одни и те же. Действительно, из того, что Т (и*, и*) = (и*, и*), следует, что Т (и*, v*) = = (и*, v*) и обратно.
Применение принципа сжимающих отображений, помимо требования преобразования некоторой области G в себя, содержит еще и требование сжимаемости. Поэтому
S Я] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 297
рассмотрим вопрос о сжимаемости вспомогательного отображения Т. В качестве расстояния между двумя точками М {щ, Vj) и N (и2, иг) можно принять
р (М, N) = | ий — щ | + | и2 — иг | = | 6и| + |6i;|,
(7.59)
и тогда условие сжимаемости вспомогательного отображения Т, преобразующего точку {и, Ъ) в точку (й, v), запишется при некотором q < 1 в виде
| бй Н- | | < g ( | би | + | |). (7.60)
Это условие сжимаемости соответствует тому, что отображение Т — сжимающее вдоль оси и и, напротив, растя-
