Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся в дальнейшем на рассмотрении динамической системы с одной степенью свободы. Рассмотрим движение материальной точки под действием восстанавливающей силы в среде с сопротивлением, зависящим от скорости. Дифференциальное уравнение такой системы может быть записано в виде
тх + Ф (%) + сх = 0.
Если в этом уравнении пренебречь членом, содержащим массу т, то получим дифференциальное уравнение первого порядка
Ф (х) + сх = 0,
которое уже описывает движение вырожденной системы. Разрешая это уравнение относительно х, получим
4-ВНЕСЛИ же пренебречь упругостью, то дифференциальное уравнение примет вид
т? + ц>(х) = 0, или = i|)((/),
где
у = х, = - А-ц,(у).
Задачей настоящего параграфа и является изучение движения таких вырожденных систем.
Пусть движение вырожденной системы описывается уравнением
тг = /(*)• (6Л)
где / (ж) — аналитическая функция. Не останавливаясь на доказательстве существования и единственности реше-
206
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 6
Х2
о
ния этого уравнения [1], выясним, какие движения возможны в этой системе.
Если уравнение / (х) = 0 не имеет действительных корней, то динамическая система, описываемая уравнением
(6.1), состояний равновесия не имеет. Следовательно,
dx/dt все время сохраняет знак, и функция х (t) или монотонно возрастает, или монотонно убывает.
Предположим теперь, что уравнение / (х) = 0 имеет к действительных корней х=хг, х = х2, . . ., х = х^. Эти корни соответствуют состоя-ниям равновесия системы. Ре-^ шения х = хх, х = х2, . . . рис g j х = х% ва плоскости tx
представляют собой прямые, параллельные оси t (рис. 6.1). В силу теоремы существования и единственности решения уравнений (6.1) интегральные кривые не могут пересекаться и, следовательно, все другие решения находятся внутри полос, образуемых решениями х = хх, х х2, . . . . . ., х — хк (рис. 6.1). Внутри полос функция / (х) знака не меняет и решения монотонны и, следовательно, если / (х) — аналитическая функция, то уравнение (6.1) периодических решений иметь не может.
Фазовая плоскость для уравнения (6.1) вырождается в фазовую прямую. Рассмотрим представление движения на этой фазовой прямой. Согласно теореме о единственности решения уравнения (6.1), начальное условие при t = t0 х = х0 однозначно определяет дальнейшее движение изображающей точки. Характер движения изображающей точки не будет зависеть от момента времени t0, так как уравнение (6.1) явно от времени не зависит. Это значит, что каждая отдельная фазовая траектория на фазовой прямой соответствует не одному движению, а бесконечному множеству движений, соответствующим различным t0. '
Траекториями изображающей точки на фазовой прямой (оси х) могут быть точки (состояния равновесия), отрезки прямой (между состояниями равновесия), полупрямая (от состояния равновесия до бесконечности) и, наконец, вся прямая, когда / (х) = 0 не имеет действительных
ВЫРОЖДЕННЫЕ СИСТЕМЫ
207
корней. Отметим, что изображающая точка не может достигнуть состояния равновесия за конечный промежуток времени, так как это противоречило бы теореме о единственности решения. Рассмотрим вспомогательную плоскость xz, где z = dx/dt. Если z = { (х) ось х не пересекает, то фазовой траекторией будет вся ось х. Пусть z—f (х) пересекает ось х в точках х = хх, х = хг, . . ., х = хк (рис. 6.2). Если / (х) < 0, то изображающая точка движется в сторону уменьшения х (влево), если / (х) ^>0, — то в сторону увеличения х. На Рис. 6.2
рис. 6.2 показаны возможные
фазовые траектории изображающей точки: состояния равновесия, отрезки между состояниями равновесия и полупрямые (от состояния равновесия до бесконечности). Очевидно, что характер разбиения фазовой прямой на траектории целиком определяется состояниями равновесия.
Перейдем к вопросу о возможности периодических решений в вырожденной системе, описываемой уравнением
(6.1). Как уже было установлено, дифференциальное уравнение (6.1), если / (х) — аналитическая функция, периодических решений не имеет. Можно также утверждать, что если / (х) — однозначная функция, то непрерывных периодических движений также не будет, так как при непрерывных периодических движениях система должна дважды проходить через одно и то же значение х с двумя различными значениями dxldt.
Покажем на примере, что если { (х) — однозначная функция, то периодические движения в системе возможны тогда, когда уравнение (6.1) хотя бы в некоторых точках не определяет движения системы или теряет смысл для каких-либо значений переменных. В качестве такого примера рассмотрим теорию механических релаксационных (разрывных) колебаний, данную Хайкиным и Кайдановским [9]. Колодка малой массы т насажена с большим трением на равномерно вращающийся вал и соединена с неподвижной станиной при помощи пружины (рис. 6.3). Уравнение движения колодки при условии, что т — 0, имеет вид
