Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь случай, когда к\ < kZ = 1 *). Предполагая, что ампитуда Q' внешнего воздействия имеет порядок перепишем уравнения движения (5.120) в виде d2a — dp _2 - / . dos „ . \
-Ъё-Ъ-Ж + "1“ = ^! (-А.!-*- +<?1зшт),
dap , _ da , _.2р - / dp ,, d^p \ (5.123)
dir + "ЗГ- + re*P — ("ST ~ ~d^) ’
где
r\ ____ Q'I\n\
loP3 (Cl — y") ¦
Решение уравнений (5.123) будем искать в виде (5.118), т. е.
а — a sin (к1 т + 1|з) -f- bx sin т -f- b2 cos т,
Р = аха cos (AjT -f- 1|з) -f- афх cos т — афг sin т. Уравнения (5.119) в этом случае будут
= и [ft0 (u2 + v2 + 2w)\ — А,
dv
— у [&о — (“2 + v% + 2и>)], (5.125)
!^L — Ew [я0 — (w + 2иг + 2v2)], яр = const,
где
u = a2b, v = a1b1, w = alkxa2, rx = • ——^-t,
P3 —
ni — 4
i,=^fi-i,4-4)' 4-^=4.’).
ЗХ3 \ kl~ nl / 3Vj \ pa — n\ )
Особые точки системы (5.125), расположенные на плоскости uv пространства uvw, соответствуют периодическим движениям маятника с частотой р —к2. Особые точки на
*) Исследование случая Щ >> Щ == 1 приведет к тем же результатам, что и при рассмотрении сложного генератора (§ 5 гл. 5).
§ 6] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 191
оси w — периодическим движениям с частотой кг. Особые точки, расположенные вне осей, соответствуют бигар-моническим движениям с частотами кг и к2 = р. Введем обозначение р = и2 + v2. Тогда уравнения для определения особых точек можно записать в виде
и2 = р, и = 0, р [&0 — (р + 2w)]2 = Я2, w [а0 — 2р — w\ = 0.
Эти уравнения по форме совпадают с уравнениями (5.104) — (5.106), поэтому для анализа движения системы мы воспользуемся результатами исследования уравнений (5.103).
Рассмотрим наиболее характерные случаи.
1. а0 < 0, Ь0 < 0 или а0 <0, Ь0^> 0. Маятник совершает периодические движения с частотой р = к2. Бигармонические движения отсутствуют.
2. а0 У> 0, Ъ0 < 0. Возможны два варианта:
а) 2&0 + 5а0<;0. Маятник при Л.2<!^Яз = -^-(2Ь0 — а0)2^ совершает бигармоническое движение с частотами кг и р = к2; при А,2 Яз будет только гармоническое движение с частотой р = к2.
б) 2Ъ0 + 5а0 0. Устойчивое бигармоническое движение возможно при А,2 Я^ ^2 = (2а0 — &0)3^ . Перио-
дическое движение с частотой р = к2 возможно при Я2
Яз. Здесь имеет место затягивание по Я2 в промежутке я! < Я2 < Я*.
3. 0 < а0 < Ь0/2. В отношении устойчивости этот случай совпадает со случаем а0 < 0, Ь0 > 0.
4. 0 < &0< а0/2. При Я2 < Яз возможно устойчивое бигармоническое движение с частотами кг и р = к2; при Яз < Я,3 < Яг возможны как бигармоническое движение с частотами кг и к2 = р, так и периодическое движение с частотой р == к2. При Я2 ]> Я2 возможно только периодическое движение с частотой р = к2.
5. 2Ьо^>ао^>0. При Я2 < Яз возможно устойчивое бигармоническое движение с частотами кг и р = к2; при Я2 Я2 устойчиво только периодическое движение с частотой р — к2.
192 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
6. 2а0 > Ь0 > 0. При X2 < возможно устойчивое бигармоническое движение с частотами и р = /с2 и при Я2 А,2 — только периодическое движение с частотой р = кг.
В качестве второго примера рассмотрим динамическую систему с гироскопическим стабилизатором [10, 11]. Конкретным примером
такой системы может служить однорельсовый вагон с гироскопической стабилизацией. При отсутствии момента, ускоряющего прецессию кольца гироскопа, такая механическая система не имеет устойчивых режимов. Для получения устойчивых режимов вводят специальный момент [9]. Будем аппроксимировать этот специальный момент (сервомомент) кубической параболой. Уравнения малых колебаний такой механической системы будут (рис. 5.37)
. <Ра т dР 1 п da , / da \
Аоч^~1а-ж~Р^а=~У чг + Щчг)'
da
dt
-Ф- + Q'sinqt,
где
h — +
А0 — А' + В' + Qi + Q2
h*+А'+ ^+ -f- (h + hL)2
a — угол поворота кольца гироскопа, |3 — угол отклонения вагона от вертикали, о> — собственная угловая скорость гироскопа, /в — момент инерции вагона относительно рельса, А' — экваториальный момент инерции гироскопа; В’ — экваториальный момент инерции кольца, / — полярный момент инерции гироскопа, Сх — полярный момент инерции кольца, Q-y — вес гироскопа, Q2 — вес рамы, р —вес груза Е, Р — вее системы (без груза), у', у"— коэффициенты вязкого трения, Ма — стабилизирующий момент, h — расстояние от оси вращения кольца гироскопа до рельса, hx — расстояние от оси вращения кольца до груза Е, создающего неустойчивость изображенного на
§ 6] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 193