Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
существует.
В случае ^ < ? <С ?2 пРи е = 0 система совершает устойчивое периодическое движение с частотой &2; при а0 2е2 0 система совершает устойчивое бигармониче-
НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
199
ское движение с частотами к2 и q\ при | Ь01 2е2 а0
система совершает устойчивое периодическое движение с частотой q. При 2е2 ]> | Ь0 | устойчивых режимов нет.
На рис. 5.42 показаны графики квадрата амплитуд би-гармонических движений Rl = и3 + е2 = а0 — е2 а квадрата амплитуды периодического движения Rl= е2.
В случае ? ?2 при е = О система находится в покое;
при | Ь0 | > 2<?2 >0 система совершает периодическое
движение с частотой q внешней силы; при 2е2 > | Ь01 устойчивых режимов не существует.
Рассмотрим теперь случай «резонанса», т. е. случай, когда hi < к2 = q. Предположим, что амплитуда внешней
Таблица 4
Случай е Pi Рг Р3 Р*
ь < С < ь е = 0 Седло Седло Устойчи _
а0>0 а0 > 2 ;2 > 0 Седло Седло вый узел _
Устойчи
60 о М > 2е2 > а0 Устойчи Седло вый узел _
2ао <14 2е*>\Ь0\ вым узел --- ---
Седло
е = 0 Устойчи Седло --- -
а0< 0 |6„| > 2ез > 0 вый узел Седло _ ___
Устойчи
60<0 2-2 > |60| вый узел --- --- ---
Седло
200
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
силы пропорциональна ц, т. е. Q' — \lQ", где Q" = = (?^40rei/(a' — у"). Уравнения движения при этом будут
d2 а — dB — X
¦ — do, “2d —
dx* + %2~Ж
dx3
d3P
da _ o„ / da V dx P \ dt /
— A —=*- H—^r- sm x
а ~с Г о
Если искать решение этих уравнений в виде (5.118): a = a sin (кгт + i|)) + Ьг sin т + &3 cos т,
Р = aia cos (frjT + ty) + a2fei cos т — a2b2 sin т>
то, используя уравнения (5.119), получим
J±- = Au |a0 — (и2 + v2 + 2м;)] —
= Ао [а0 — (и2 + и2 + 2м’)],
С?То
(5.131)
dx2
= Bw [b0 + 2и2 + 2у2 + u’], i|) = const,
где
и — bv v = b2, w-
a°— зр» (1
g* + nl
к2
i2-4
9 6« =
T,
tirai (g3 + n2)
2 (<73 ~ *2)
4
3P"
A= 4P">0, 5:
3 fe, + rc2
_ R" J. 1 0
2 [ q2 + n] ^ ’ <?'
/« (a' — V") 52 + n2 ’
Отметим, что a0 и fc0 те же самые, что и в предыдущем случае. Особые точки и линии системы уравнений (5.131) определяются из уравнений
Аи [а0 — (и2 + v2 + 2w)\ — Q = 0,
v [а0 — (и2 -(- v2 + 2w)] = 0,
w [Ь0 + 2 (и2 + у2) + w\ = 0.
Вводя обозначения р — и2 v2 и Q0 = (?М, получаем
р = u2, v = 0, р (а0 — р — 2и;)2 = $,
iv (bQ + 2р + w) = 0,
(5.132)
НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
201
Найдем сначала особые точки на плоскости w = 0. Из уравнений (5.132) следует, что
р = и2, v = 0, р (ао — р)2 = Ql,
т. е. особые точки, соответствующие периодическим движениям с частотой к2 = q, расположены на оси и. Резонансную кривую этих движений получим, заменяя р на R\,
Rl К - Л1)2 = Ql (5.133)
Характеристическое уравнение для особых точек на оси и будет
U (ао - Щ) - S] [А (ао - Rl) - S] IB (b0 +
+ 2Rl) - S] = 0.
Следовательно, условия устойчивости этих точек имеют вид (все корни должны быть отрицательными) а0 <
< R\ с —bQl2. На оси w особых точек нет, следовательно, при Q0 Ф 0 гармонические движения с частотой kt невозможны.
Перейдем к рассмотрению особых точек вне осей и, v, w. Особые точки вне осей и, v, w соответствуют бигармони-ческим движениям системы с частотами k1vik2 = q. Введем в рассмотрение величину Rl = р w. Тогда на основании (5.132) получим
р = -Ь0 - Rl, w = Ъа + 2Rl (5.134)
и, следовательно, уравнение
~(Ь0 + Rl) (а0 -Ь0- 3R\) = Ql (5.135)
будет определять значения Rl, соответствующие бигармо-ническим движениям. В силу условий (5.134), область существования уравнения (5.135) ограничена условием
-j?<Rl<-b0.
Характеристическое уравнение для определения устойчивости бигармонических режимов имеет вид
\А (а0 - Ъ0 - 3Rl) - S] X
X {S2 - S [А (а0 + b0-Rl) + В (Ъ0 + 2Л>)] +
+ АВ (2Rl + b0) (а0 - 1Ьй - 9Rl)} = 0.
202 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Таблица 5
К < 1 > 1
1 2 3 4 5 6
Е. < Е < 1 1 < Е < Е> Ei < Е < Е« Е > Е2 El < Е < Ег Е > Ег
