Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
18
Глава 1
того, что такая конечность сохраняется во всех порядках теории возмущений, не существует [32]. Одним из способов преодоления этой трудности является введение другой размерной постоянной. Таким параметром является натяжение струны, и это естественно приводит к струнным теориям.
Теория струн может быть описана бесконечным набором гармонических осцилляторов. При квантовании такая система приводит к бесконечным вакуумным флуктуациям. В случае свободной струны эти бесконечности могут быть перенормированы. Но взаимодействие двух струн (протяженных объектов) должно быть локальным, чтобы выполнялся принцип причинности, в то время как бесконечные вакуумные флуктуации будут приводить к нарушению локальности [32]. Благодаря суперсимметрии, которая требует равного числа бозонных и фермионных мод, бесконечности удается сократить. Таким образом, в теории струн суперсимметрия действительно является необходимой.
Материал, содержащийся в следующих главах, изложен не в сортветствии с путем исторического развития, а начинается с рассмотрения свободных струн и заканчивается изложением различных взаимодействий. В этих главах описаны все основные понятия и идеи теории струн, но новейшее развитие затронуто лишь вкратце. Другие подходы к теории струн и обзор всех современных аспектов читатель найдет в литературе [34].
Глава 2 Бозонные струны
Описание точечных частиц лучше всего начать со свободной бесспиновой частицы. Такая частица движется вдоль однопараметрической траектории х^(х). Классическое действие, описывающее движение точечной частицы, не должно зависеть от того, каким образом задана параметризация траектории, и выбирается пропорциональным длине пути, пройденному частицей (используется пространственноподобная метрика)
sf xf\ _________________
S = m ^ ds = m ^ d% V —- х2 (т), (2.1)
si xi
где т — масса частицы и x^ = dx^/dx. Инвариантность действия (2.1) относительно репараметризации приводит к появлению аналога гравитации. Считая, что х»(т)—набор скалярных полей в одномерном пространстве, мы можем ввести метрику g = gTr и записать действие так же как и для скалярных полей, взаимодействующих с гравитацией в четырех измерениях:
S==~T \dx^Jg(g~ix2 — m2). (2.2)
(Заметим, что массовый член входит в это действие как космологическая постоянная.)
Из действия (2.2) можно исключить метрику g. Для этого подставим решение уравнения движения для g в действие (2.2) и получим выражение (2.1); таким образом, действия (2.1) и
(2.2) эквивалентны, по крайней мере на классическом уровне. Выражение (2.2) в действительности является более общим, так как допускает предел т = 0.
Аналогично можно построить действие для свободно движущейся струны. В простейшем случае мы будем описывать струну ее d-мерными координатами Минковского х^(о, т). Параметры стих задают точки на мировом листе, которые струна заметает при своем движении; о — координата вдоль пространственноподобного направления, а т —вдоль времениподобного.
20
Глава 2
В качестве действия для струны можно взять обобщение как выражения (2.1), так и выражения (2.2). Мы рассмотрим второй способ. Введем метрику на мировом листе обратную метрику обозначим Тогда репараметризационно-инвариант-ное действие записывается в виде [15]
Я Tf
5 = — ^T^da ^ dx V— g (2-3)
0 Ti
где g' = detg'ap, а Т — постоянный множитель (необходимый для того, чтобы поле имело размерность длины), который оказывается равным натяжению струны.
Симметрии действия (2.3) — это глобальная пуанкаре-инвариантность
б**1 = / V + а\ 6gaft = 0, (2.4)
(2.5)
локальная репараметризационная инвариантность бл:^ = 1адах'1,
dgap = iydygafi + dalyg^ + др|Т?®у»
а также локальная вейлевская инвариантность
Sgap = Agap, 6.vH = 0. (2.6)
На классическом уровне можно исключить gap из выражения (2.3), решив уравнения движения для gap алгебраически и подставив решение обратно в действие. Полученное таким образом выражение является действием Намбу — Хара — Гото [11, 12] и пропорционально площади мирового листа (по определению репараметризационно-инвариантное выражение). Для исключения поля ga3 на квантовом уровне потребуется вычислить континуальный интеграл. В общем случае остается “лиу-виллевская мода” (нарушающая вейлевскую инвариантность) за исключением особого случая d = 26 [14]. Вопрос о том,, можно ли построить разумную теорию бозонных струн в случае d <С 26, до сих пор не решен полностью. В последующих главах части I мы будем рассматривать только теории струн в их критических размерностях.
Заметим, что на этом этапе мы не можем ввести космологическую постоянную, если мы требуем вейлевской инвариантности (2.6).
Квантование системы будем проводить стандартным образом, используя гамильтонов формализм. Сначала вычислим
