Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
+ (2v)ll2{v + 2)V-l(-v)A2y-l-vb) [1 + 0{y~2)], z>zc, (9.51)
где b s exp[i(?2(z - zt.)2 /4]. Амплитуда обоих слагаемых в фигурных
скобках в (9.50) и (9.51) пропорциональна величине \у\1^2. При z > zc, Р
> 0. В этом случае первое слагаемое в (9.51), фаза которого растет при
уменьшении z, представляет собой падающую, а второе слагаемое -
отраженную волну. Отношение коэффициентов при Ъ и Ь~1 естественно назвать
коэффициентом отражения V. Используя формулу (3.85) для вычисления | Г (-
р) |, получаем
I V | = [1 + ехр (- 27га)] Ч2 \ 1 + iexp (-пa)A i/A2\~1 . (9.52)
Отношение А\!А2 должно быть таким, чтобы функция Ф(г) удовлетворяла
условиям при z При 0(z) >0 следовало бы потребовать
обращения в нуль коэффициента при yv + 2b~l, т.е. амплитуды волны, фаза
которой растет с ростом z. Однако в полупространстве z < zc имеем (3 < 0.
Покажем, что в этом случае, наоборот, при z -*¦ -00 звуковое поле не
должно содержать волн, z-компонента фазовой скорости которых
отрицательна.
Для простоты рассмотрим сначала отражение плоской волны, падающей из
неподвижной среды на однородное жидкое полупространство z < 0 со
скоростью течения v0 = (-и, 0, 0) = const. При z < 0 волновое уравнение
допускает существование двух плоских волн:
р = аг exp [/(-if* - цг - w/)] + а2 exp [i(pz - %х - со/)],
где р = (к2р2 -%2)1!2,0 = 1 -?м/со. Перейдем в систему координат = = x +
ut,yi =у, z | =z, движущуюся вместе с жидкостью. В этой системе
p.-at exp [/(-if*, -дг, - со|3/)] +а2 ехр[г(дг| -%хх -fo|3/].
187
При 0<О в движущейся системе координат частота отрицательна, поэтому
направления z-компонент фазовой и групповой скоростей будут
противоположны направлению z -компоненты волнового вектора. Хотя в волне
с амплитудой at волновой вектор направлен в сторону отрицательных z,
возмущение фактически передается снизу вверх, что противоречит принципу
причинности. Следовательно, эта волна должна быть отброшена. (По
существу, это правило отбора решений уже было использовано в п. 2.6, где
предполагалось, что знак z-компоненты волнового вектора преломленной
волны противоположен знаку (].) При /3 < 0 для наблюдателя в неподвижной
системе отсчета вертикальные компоненты фазовой и групповой скоростей
преломленной волны имеют противоположные знаки.
Легко видеть, что и в плавно-слоистой среде при |3 < 0 передача
акустического возмущения от одной жидкой частицы к другой в направлении
сверху вниз происходит только в волне с положительным значением г -
компоненты волнового вектора, поэтому в (9.50) следует положить А\ =0.
Отношение комплексных амплитуд прошедшей и падаюшей волны будем называть
коэффициентом прозрачности W. Из (9.50) и (9.51) имеем
I W | = j А2 - iAi exp (па) |/| Л2 ехр(ла) + iAt I. (9.53)
Подставляя в (9.52) и (9.53) значение получаем I К|2=1 +
+ ехр(-2ла), | W \ 2 - ехр(-2ла). Таким образом, при отражении от
неоднородного потока звуковая волна усиливается. Если принять
вертикальную компоненту плотности потока мощности /г в падающей волне за
единицу, то в отраженной и прошедшей волнах значение /г будет
соответственно равно | V |2 и | W\ 2. Из равенства I V | 2 = | йМ 2 +1
следует, что усиление звука при отражении связано с притоком энергии из
области z =-оо . Величина | V \2 - 1 = ехр ( 2яа) характеризует обмен
энергией между звуком й потоком. Она тем больше, чем меньше угол падения
волны и чем больше величина Vи0.
Проведенный выше анализ относился к случаю - f II v0, причем волна падала
из области, где /3 > 0. Откажемся теперь от этого предположения. Пусть
вектор f образует угол у с осью Ох. Направление f влияет на звуковое иоле
посредством величины /3. Если cos <р < 0, то в выражениях для zc и q
нужно заменить а на -a cos iр. Все последующие формулы не изменяются (в
частности, a=%2jq2 = - ?c/(2acosip)). При cos у > 0 звуковая волна падает
из области, где /3< 0. Выражения (9.47)-(9.51) останутся в силе, если
заменить а на acosip. Амплитуда отраженной волны, согласно (9.51),
пропорциональна разности А, - iA2 ехр(7га), амплитуда падающей -
коэффициенту А2. В области z -> (поскольку /3(z) > 0) следует потребовать
обращения в нуль коэффициента при Ь'1. В результате для модуля
коэффициента отражения вновь получаем I V \2 = 1 + ехр(-2ла) = = 1+1 W\2.
Наконец, если ( v0 = 0, то течение не сказывается на распространении
звука и отражение отсутствует. При фиксированном значении <р коэффициент
отражения как функция ? испытывает разрыв: I F|2=2 при % -*+0, | К | =0
при нормальном падении. Это связано с тем, что горизонты поворота и
резонансного взаимодействия существуют при всех ? =А0 и исчезают при ?
=0. Если бы скорость течения 1>о(г) была величи-
188
ной ограниченной при всех z, то коэффициент V был бы непрерывной функцией
if.
Рассмотрим теперь отражение высокочастотного звука от слоистой среды с
гладкими зависимостями c(z),p(z) и v0(z) общего вида. Будем предполагать,
что при z -*+°° плотность и скорости звука и течения выходят на
