Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
частности, получаем
Е3 _ R(a2) - R(ai) + гтгк(1 - к2/4)
Е4 R(a2) +Я(а1)-77гк(1- к2/4) ( 7 )
Воспользуемся малостью отношения %/к для упрощения (9.76). Перейдем в
интегралах (9.50) дляа12 к переменной s = &0/?. Тогда
2% . (-Dy ,------ dz
а, =----- (-1)7 / y/l -s ds-. (9.77)
n 0 ds
Разлагая s по степеням z -гс, обращая получающийся ряд и подставляя 13.
Л.М Бреховских 193
его в (9.77), находим
' 2к$ Зпк$ \ к р' / \к2/ J
где к, к', 0 и ^"берутся при z=zc. Отметим, что I а2 - at 1 - %а2/к, i
Е3/Е4 I < 1. Из асимптотики гамма-функции при больших по модулю значениях
аргумента [240, гл. 6] следует, что R(a) = 1 + 0(а~2). Учитывая зто и
сохраняя только первые степени величин (а2 - atj) /а2 и к , из формул
(9.76) и (9.72) получаем
. Ез 1
Im-=-
Е4 2
+ ехр(-2яа2) 1Жаг)
С той же точностью при помощи (9.52) и (9.75) находим | V\2 =(1 +е-
2я"')^1 +2е-я"' Im =
(9.79)
= 1 +е-я("* +""> + ------------- е-я">(1 +е~2я"')1/2, (9.80)
1Я(а2) I
3/2
| w ,2 = ехР [~ff(ai +а2 )12] ЛЛ ' х
2сЬяа2 \"i/
R(ai)+R(a2) Г(5/4 - iat /2)
2 R(a2) Г(5/4 - ;'а2 /2)
12
V\2. (9.81)
Когда а, ;2 ^ 1, формулы (9.80) и (9.81) переходят в формулы (9.64) и
(9.65), полученные без предположений о малости %/к. Таким образом, в
рассматриваемой задаче (9.80) и (9.81) определяют энергетические
коэффициенты отражения и прозрачности при любых возможных значениях
параметров. Если к = 0 и а2 = а2, то I К|2=1 + 1ИМ2=1 + ехр(- 2-пах), как
и в эталонной задаче с линейным профилем v0 (z).
Отметим, что вертикальную зависимость звукового поля можно описать, не
обращаясь к функциям Уиттекера. Действительно, как мы уже видели выше,
области применимости асимптотик (9.67), (9.68) и степенного разложения
(9.69) перекрывают всю среду при любых значениях %/к. Асимптотики,
основанные на функциях параболического цилиндра, позволяют найти главный
член разложения звукового давления по степеням 1/кЬ даже при z =zc,
однако для вычисления производной dp/dz вобласги I z -zc| ^ ^ 1 /(%2L)
необходимо использовать соотношения (9.69).
Обсудим физический смысл полученных результатов. Если величина к (9.55)
положительна, то при отражении звуковая волна усиливается. Это
объясняется двумя причинами. Во-первых, существует приток акустической
энергии из z = -Это явление имеет место и при отражении от однородной
движущейся среды (см. п. 2.6). Оно обусловлено тем, что прошедшая в
полупространство z <zc звуковая волна имеет отрицательную энергию, т.е.
энергия течения в отсутствие волны больше, чем при ее наличии.
194
Во-вторых, усиление звука связано с процессами, происходящими в
окрестности горизонта z -zc. Соответствующее слагаемое в (9.80)
пропорционально к . Этот механизм усиления звука связан с резонансным
взаимодействием между акустическими колебаниями и движением частиц
жидкости в основном течении*). Он аналогичен усилению (или, в зависимости
от вида функции распределения частиц, затуханию) Ландау колебаний в
плазме [10], [171, § 41].
Горизонт z = zc выделен тем, что в его окрестности проекция скорости
частиц на направление ? равна скорости следа волны. Поэтому в системе
отсчета, движущейся вместе с частицами, частота волны равна нулю и, в
отличие от других горизонтов, энергия, полученная звуком от течения, не
обращается в нуль при усреднении по периоду волны. Вследствие наличия
вязкости, хотя бы и сколь угодно малой**), жидкие частицы, обгоняющие
волну, замедляются и передают ей энергию; отстающие от волны частицы
ускоряются и отбирают у нее энергию. Суммарный эффект будет состоять в
усилении звука, если число обгоняющих частиц больше, чем число отстаю-
ющих. Результат был бы обратным, если бы вязкость была отрицательной.
Этим объясняется зависимость V от направления обхода особой точки z =zc в
волновом уравнении.
В отличие от описанного выше первого механизма усиления звука,
резонансное взаимодействие чувствительно к стратификации плотности (см.
(9.55)). Если р = const и v0 II ^, то резонансное взаимодействие приводит
к перекачке энергии потока в акустическую энергию при v"0 (zc) < 0 При и
о (zc) > 0, р (z с) =0 акустическая энергия будет передаваться потоку.
При <*12^1 основную роль в энергообмене звука и потока играет первый
механизм; при любом знаке к получаем | V \ 2 > 1. С ростом угла падения
увеличивается толщина ''потенциального барьера" (области z 1 < z <z2, где
звуковая волна является неоднородной), и амплитуда прошедшей волны
экспоненциально убывает. На первый план выходит резонансное
взаимодействие; знак I V | 2 - 1 совпадает со знаком к .
Отметим, что в некоторых случаях проявляется третий механизм усиления
звука в потоке - изменение знака вязкой диссипации в движущейся среде
[10, 77].
Выше мы предполагали, что звуковая волна имеет две точки поворота. Если
проекция и (г) скорости течения на направление ( удовлетворяет
неравенству и (г) < с (г) + со/?, то -? < < 0 при z < zc, и волна
будет
иметь только один горизонт поворота z =z2 >zc. В отсутствие резонансного
