Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, замену переменных (9.22) можно записать в виде
4(0 = (3 I ^(?)l/2a1/2)2/Jsgn f. (9.23)
Здесь sgn f = 1 при f > 0 и sgn f = -1 при f < 0.
Эталонное уравнение (9. ) в рассматриваемом случае легко сводится к
уравнению Эйри (см. формулы (3.96)-(3.98) при j;2 = fej). Реше-
178
ния (9.1) представляют собой функции Эйри от аргумента ~(к%а)11гг\.
Свойства этих функций были подробно описаны в п. 3.5. По формулам
(9.2), (9.23) находим асимптотическое решение волнового уравнения:
/(f) = | 3k0tpl2N3 |1/6[Л1н(- | 3fc0^(f)/2 |2^3sgn f) +
+ B2v(- | 3*0*ff)/2 l2/3sgn f)]. (9.24)
Если значение N2 положительно при f < 0 и отрицательно при f > 0,
асимптотика вертикальной зависимости звукового поля отличается от (9.24)
только знаком аргумента функций Эйри.
Вычисляя невязку т(f) по формулам (9.3) и (9.22), легко убедиться, что
она ограничена при всех f, в том числе в точке поворота f = 0.
Следовательно, выражение (9.24) является равномерной (т.е. пригодной при
любых f) асимптотикой решения волнового уравнения. Функция g в
(9.8) равна
?0?1,т?2)= [u(T?2)y(i?i)-"(i?i)y(i?2)](-afeg)~1/3. (9.25)
Мы учли здесь, что вронскиан функций Эйри м(т?) и и(т?) равен единице
(см. (3.103)). Поэтому в (9.15) D к ко2/3 и, согласно (9.16),
относительная погрешность асимптотики (9.24) не превышает 0((k0L )-2^3).
Можно показать (см. п. 17.2), что справедлива и более сильная оценка:
(9.24) отличается от точного решения множителем 1 + 0((k0L)~l). Подробное
исследование точности асимптотики (9.24) проведено в работах [463, 464].
Аргумент функций Эйри в (9.24) обращается в нуль в точке поворота и мал в
ее окрестности. При | f | < L величину N(f) можно заменить в
(9.22) на (a,f)1/2 [1 + 0(f/Z,)], где a, =dN2 (0)/</J> L ~l, тогда из
(9.24) получаем
/(f) ** l*o/". l1/6[#iM(- (fcotfi)1/3f)+52u(- (frofl,)i/3?)]> \ K\<L.
(9.26)
К этому выражению можно было придти также из простого требования близости
коэффициентов A^aif [1 + 0(f/?)] и к%аг\ волнового и эталонного
уравнений. В другом предельном случае - при | f | > (L/kl)1!3 аргумент
функций Эйри велик, и их можно заменить асимптотическими разложениями
(3.107), (3.108). Ограничиваясь главными членами асимптотик, получаем
/(f) *
ArI/2[fl,cos(fcftM +nl4} + B2sin(k0\v\ + тг/4), N2>0 ^ ^
If \>(L/k20yl3} (TV |-1 /2[J?, exp(fc01 I) + 0,5^2 exp(-A:01 I)], N2 <0.
(9.28)
В выражениях (9.27) и (9.28) нетрудно узнать ВКБ-решения (8.11). Отметим,
что условия их применимости согласуются с полученным в § 8 неравенством
(8.18).
12* 179
Соотношения (9.26)-(9.28) представляют собой локальные асимптотики
волнового поля. Поскольку (L/kl)ll3 < L, области их применимости
пересекаются. В совокупности эти формулы дают высокочастотное приближение
для Ф при всех f. Они пригодны при любом знаке а, и довольно удобны при
численных расчетах, поскольку не требуют вычисления функций Эйри с
большими аргументами и проще, чем (9.24). Локальные асимптотики не
содержат весьма неустойчивых при расчетах на ЭВМ неопределенностей вида
0/0 таких, как <р/N3 в (9.24) приЛ^-*0. В аналитических исследованиях
обычно удобнее пользоваться равномерной асимптотикой, которая при всех f
дается единой формулой (9.24).
Из формул (9.24) и (9.26) мы видим, что в окрестности горизонта поворота
? = 0 имеется узкая по сравнению с L область I f I ^ (L/kl)1!3, где
амплитуда поля зависит от частоты. С ростом со ширина этой области
сокращается пропорционально со-2/3, а амплитуда звуковой волны растет
пропорционально со1/6 и стремится к своему значению при со = °°,
соответствующему лучевому приближению.
Если нас не интересует поведение поля вблизи точки поворота, то для
вертикальной зависимости звукового давления можно пользоваться решением в
приближении ВКБ:
Сравнение этих формул с соотношениями (9.27), (9.28) позволяет получить
связь амплитудных коэффициентов Cj 2 в ''озвученной" и С34 в ''теневой"
областях. В первой области волны будут распространяющимися, а во второй -
неоднородными. Если N2 > 0 при f > 0, так что i^(f) положительно в
озвученной области, то эта связь имеет вид
Если N2 > 0 при f < 0, так что <^(Н < 0 в озвученной области, то связь
будет такой же, только величины С) и С2 в (9.30) следует поменять
местами.
Проведенный анализ позволяет построить высокочастотные асимптотики поля и
в том случае, когда в среде имеется несколько горизонтов поворота, если
расстояние между ближайшими горизонтами поворота велико по сравнению с
(L/kl)ll3. В окрестности каждого горизонта поворота поле описывается
выражениями йида (9.26), а вдали от этих горизонтов - ВКБ-формулами
(9.27), (9.28). Число используемых локальных асимптотик можно сократить
более чем вдвое, если в окрестности каждой точки поворота описывать поле
выражением (9.24). Сшивка этих асимптотик производится в общей области
применимости между горизонтами поворота.
Как мы видели в § 8, в лучевом приближении волна распространяется без
отражений, если нет точек поворота. Рассмотрим теперь отражение от точки
