Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
А 1,2 = const,
(z)],
sm/яя
(6.54)
выпишем главные члены разложения Z по степеням (к2 - ?2):
(6.55)
В частности, при а2 =0, когда нижнее полупространство однородно, т = 1/2,
g(V) = ко = const,
(6.56)
а замену переменных запишем в виде
2
T?(z)= / [П2 (z) - sin20oJ1/2<fe,
(6.57)
13$
является общим решением уравнения
й2Ф/йг2 + ко [m2(z) - яп20о]Ф = 0. ц2 =п2 + ^(z),
(6.59)
где
9>(z) = {4[In(и2 -sin20o)]"- [(1п(и2 -sm20o))']2>/16fco2. (6.60)
Функция Ф(г) дает вертикальную зависимость звукового поля в среде с
показателем преломления д(г) при ? = fcosin0o; в0 имеет смысл угла
падения на горизонте, где д = 1.
Пусть при z -*¦ ±°° величина n(z) принимает постоянные значения, а
производные п достаточно быстро стремятся к нулю. В этих областях решения
Ф1 и Ф2 представляют собой плоские волны, & (z) = 0. Слой с показателем
преломления д(г) является при частоте со и угле падения в0 неотражающим.
В нем независимо друг от друга в противоположных направлениях
распространяются волны 4>i и Ф2. Значение ЗР (z) зависит от частоты и
угла падения волны. Слой, не отражающий при одном значении в0, становится
отражающим для другого в0. Отличие д(г) от n(z) стремится к нулю с ростом
частоты.
В качестве примера рассмотрим случай, когда в0 = 0 и функция и2(г)
задается по Эпштейну, т.е. п2 = k2{z)jkl, где k2(z) берется из (3.54а).
По формуле (6.60) получаем
3P(z) = -a(z)S~2 [2-N - AM + ebz + (1 -N)e~bz]-2, (6.61)
где N2
a(z) = - + m2 + 8 M(N -2) + (N+ 4 M)ebz +
4
+ (N- l)(N-4M)e~bz -4М2Л2^-у^). (6.62)
Величина S, пропорциональная толщине слоя, имеет то же значение, что и в
§ 3 (см. (3.69)).
На рис. 6.3 добавочный член ^(z), сводящий отражение к нулю, изображен
графически для исследованных в п. 3.4 случаев переходного (М = 0) и
симметричного (N = 0) слоев Эпштейна при S = 2, когда эффективная толщина
слоя составляет около половины длины волны. Для переходного
Рис. 6.3. График добавочного члена, сводящего к нулю отражение от
переходного (в) и симметричного (б) слоев Эпштейна
139
слоя (рис. 6.3, а) взято N= 1/2, для симметричного (рис. 6.3, б) М = - 2.
Для всех других значений S величину 9 (z) можно будет получить из
приведенных рисунков путем умножения ординат на (2/S)2. Мы видим, что и
для симметричного, и для переходного слоев добавки к w2(z) невелики даже
при S = 2 и будут уменьшаться при увеличении S.
Пример неотражающей (для фиксированных значений частоты и угла падения
волны) движущейся среды был приведен в п. 3.7.
Существуют слоистые среды, на определенной частоте не отражающие плоские
волны в целом интервале углов падения. Пример такой среды можно извлечь
из результатов § 3. Квадрат модуля коэффициента отражения плоской волны
от симметричного слоя Эпштейна при М < 0 дается формулой (3.87). Скорость
звука в этом случае является четной функцией z с минимумом при z = 0.
Когда частота волны равна
со = 0,5 6с0 \L(L+ 1)/М\1П, ? = 0,1,2,..., (6.63)
в (3.87) cos7rd2 = 0 и V = 0 для всех вещественных значений угла паде.-
ния в0¦ Здесь с0 - скорость звука при | z | -*¦
Из формул (6.45), (6.46) следует, что в рассматриваемом случае
коэффициент прозрачности W имеет полюсы в точках
sin в о = $/к0 = ±[1 + (L - /)2 \M\/(L(L + 1))]1/2, / = 0, 1, ...,L- 1.
(6.64)
Эти точки будут и полюсами функции К(?) (3.84). Если бы коэффициент
отражения был аналитической функцией %, то из равенства V= 0 для всех \
из интервала (-к0, к0) следовало бы, что V = 0, и полюсы не могли бы
существовать. Неаналитичность V(?) (3.84) не противоречит сказанному в п.
6.2 об общих свойствах коэффициента отражения, поскольку там речь шла об
отражении плоской волны, падающей из однородной среды на
полупространство. Исходя из формулы (3.62) можно показать, что в
соответствии с общей теорией V - аналитическая функция ?, когда скорость
звука меняется по Эпштейну в полубесконечном слое - 00 < z < z0, а при z
> z0 имеем с = const.
Представляют интерес неоднородные среды, не отражающие волны любой
частоты хотя бы при одном значении угла падения. В работе [487]
утверждается, что V = 0 для всех со при нормальном падении волны на среду
с профилем скорости звука, задаваемым параметрически равенствами:
c(z) = с0 cth217(z), z/olCo = cthi? - i?, -°°<i?<0, (6.65)
где а и c0 - положительные константы. При изменении 1? от -00 до 0
координата z, монотонно убывая, принимает все вещественные значения.
Когда z -*¦ +°°, с -*¦ с0; когда z -*¦ -°°, с -*¦ +°°. Плотность
предполагается постоянной.
Подстановкой р = ncthr? уравнение d2p/dz2 + co2c"2(z)p = 0, которому
удовлетворяет звуковое давление, приводится к виду
d2u/d't]2 + (co2a2 + 2ch-2T? )и = 0, (6.66)
(6.66) является частным случаем уравнения, которому удовлетворяет
звуковое поле в неотражающем слое Эпштейна, рассмотренном выше. Входящие
в решение гипергеометрические функции для неотражающего слоя сводятся к
элементарным. Легко проверить подстановкой, что общим ре-140
шением (6.66) будет функция
м=Лехр(/сца17)(/а;а -thrj) + fiexp(-fcjar?)(/a;a .+ Шт?), (6.67)
