Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
1 ' }
В изотропном случае а2 = дсо2(Х + 2д)-1 - ?2, ск2=дсо2/д - ?2, т.е.
решение осз соответствует продольным, а а2 - поперечным волнам. В
дальнейшем будем считать Im ckj 2 > 0.
Поле смещений в волнах Р ~ SV в однородной трансверсально-изотропной
среде описывается выражением
и = ехр[/(?х - cjt)] [v^1 Vie,a,z + + v*3V3efa*z +
+ v(4Ve-|a*z]. (7.31)
Здесь Ipj - постоянные, а векторы с точностью до нормировки опреде-
ляются из (7.20):
v(1) = /(?,0, [доз2 -(Х + 2д)?2 -д'а?]/а,(Х' +д"))Г,
,<'> = ("<'), 0, -"ГУ, рз2)
v(3) = -i(at2, 0, [доз2 -(X + 2д)|2 -д"агШХ' +д"))Г,
150
v<*>=(-"!3), о, "<зу.
В каждой из волн векторы смещений частиц имеют компоненты, параллельные и
перпендикулярные волновому вектору, т.е. даже в однородной анизотропной
среде продольные волны при распространении преобразуются в поперечные и
обратно.
Рассмотрим теперь волны Р - SV в дискретно-слоистой трансверсально-
изотропной среде. Зависимость полей от горизонтальных координат и времени
по-прежнему считаем гармонической. Будем предполагать, что плоскость
изотропии параллельна границам. Решение задачи об отражении плоской волны
от произвольного числа слоев легко построить, воспользовавшись матричным
методом [340, 520]. Введем, как и в § 4, вектор
смещения-напряжения / = (и,, м3, о33, о31)г. При выводе граничных условий
в § 1 мы не использовали вид закона Гука (7.18). Поэтому и в анизотропной
среде вектор / остается непрерывным на границах с жестким соединением
твердых тел. Пусть горизонты z и z0 принадлежат одному слою. Тогда из
формул (7.31), (7.32), (7.25) и (7.26) после несложных выкладок получаем
№ = L[е'" >г, е-z, е'"* *, е" to*г) (*,, ft, *3, = LlL^f{z0),
(7.33)
где квадратными скобками, как и в § 4, обозначена диагональная матрица:
1= [e''a><*-zo>,e-'">(z-*")jeta*(z-z"),e_,e"(*_z<")], (7.34)
ft It -la, la,
"<0 _.<*> "<" .w
+ iW + 2v)a,v[i} -t'x -ЦХ'+ 2M>1u[,) + t"x |
n -vet"*0-*," *<tt"(tm)*"i> +
(7.35)
Соотношение (7.33) аналогично формулам (4.66) и (4.67), подробный вывод
которых для изотропной среды приведен в § 4. Роль вектора потенциалов в
однородном слое анизотропной среды играет вектор констант (<^i, Vi, <рг,
'Рл)Т¦ Специфика анизотропной среды проявилась в виде мат-
А А
риц L и /, которые, однако, сохранили много общего с рассмотренным
в § 4 случаем. Нормировка векторов (7.32) была выбрана так, что в
изотропной среде формулы (7.34) и (7.35) переходят в (4.67). В этом можно
убедиться, сравнивая матрицы поэлементно.
Соотношения (7.33) - (7.35) позволяют пересчитать значения вектора
смещения-напряжения с одной границы слоя на другую. Построение матрич-
А ААА_|
иого пропагатора из матриц А - LIL отдельных слоев и весь дальнейший ход
решения задачи совершенно аналогичны рассмотренному в п. 4.3 изотропному
случаю, и мы не будем их здесь повторять.
Построим матричное описание для волн SH в трансверсально-изотропной
среде. Согласно (7.28), для смещений в однородной среде имеем их =м3 = 0,
иг = (\pte'0z + t//2e_^z)exp[/(|x-wr)], ^li2=const,
А-[(ры*-^2)/лТ2- ( }
151
Для исключения угла падения я из дисперсионного уравнения в (7.28) мы
использовали равенства ? = A: si' sin 0, /3 = к cos б. Из (7.25), (7.26)
следует 033 =О, 023 = 2С1313Ы23 == д"Эи2/дх3. Поэтому граничные условия
при жестком соединении тверфдых тел сводятся к непрерывности компоненты
и2 смещения частиц и косомпоненты о2з тензора напряжений. В соответствии
с этим выберем в вектор смещения-напряжения в виде / = = (м2-о23)т. Из
формул (7.36) ) получаем
f(z) = L [е'Р*, e-V'Ktt, ф2)У = (7.37)
Л Л
где L и / - матрицы 2X2:
^1х=^х2 = 1, ^2х = -?22 = = ШР, /=[expi|3(z -z0), exp(-/|3(z -z0))].
Л ЛЛЛ, (7-38)
Матрица слоя, как и для волн Р Р - SV имеет вид А = LIL , но конкретные
А А
выражения для матриц L и I в т том числе и их размерности, различны.
В ряде случаев более удобныым оказывается другое представление матри-
А
цы слоя А - в виде матричной й экспоненты (нам это представление
понадобится при рассмотрении упруэугих свойств мелкослоистых сред). Пусть
+ оо
функция F(x) имеет разложекение 2 апхп/п\ в ряд Тейлора, тогда под
п = о
функцией от матрицы понимаетгтся сумма ряда
+ оо
F(B)= 2 а"Вн/п\ (7.39)
п=0
л
Например, матрицу / из (7.38) ь можно записать в виде
f=exp[(z-z0)w], m = [г/З, -,-г/З]. (7.40)
Действительно, из определения я (7.39) имеем
exp [(z -z0)m] = 2 [(z - z(z0)w] "/"! = л=о
= 2 \in(z-z9)*PH/n\, -z0)P)"/n\] =
n = 0
= [expi/3(z -z0), exp(-z/3(z - -z0))].
Пользуясь представлением ('(7-40) и легко проверяемым равенством
А д А А а л | л А А А
(LmL ) *LmnL $цдя матрфицы слоя А = LIL получаем Л = exp[(z - z0)"],
K=LmL'L~l. (7.41)
Вычисляя к при помощи соотношений (7.38) и (7.40), для волн SH
на-
ходим
"11 = "22= 0, "12 = 1 /д", К "2 1 = д?2 -рщ2. (7.42)
Представление (7.41) сохрананяет силу и для волн Р -SV. Однако в этом
А А
случае m = [zoci, - ia2, ia2, -iaia2 ], a L дается соотношением (7.35).
Расчет 152
по формуле (7.41) приводит к компактному выражению (ср. (7.35)):
