Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
неподвижна, 0(z) = 1. Пусть линейно независимые решения /12 (Г) волнового
уравнения удовлетворяют начальным условиям
Коэффициент при р в волновом уравнении (1.45) является бесконечно
дифференцируемой функцией ?. Поэтому/1>2 (Г) - решения начальных задач
(задач Коши) (1.45), (6.47) - будут регулярными функциями этого параметра
[131, ч. 1, § 5]. Формулы (6.5) и (6.47) дают
системы V/ слоев входят четным образом: при перемене знака Vj
Zj -*¦ - Zj, Sj -*¦- Sj, a Z<"> остается неизменным. Поэтому в
окрестности
/i(fi)~0, /i(fi)-&o> /г(?1)~ 1> /2(^1) = 0> - const. (6-47)
Р1Р2
plvxv2
(6.48)
откуда видно, что И/12(?) имеет ровно четыре точки ветвления.
136
В дискретно-слоистой движущейся жидкости импеданс равен Zj = =
uipjfijlVj, где Vj = {kj (3j - ?2)1/2, Sj = tg(Vjdj) (cm. n. 2.6).
Зависимость (3j от x- и ^-проекций вектора ? = (?j, ?2,0) аналитическая.
Поэтому ветвления могут быть связаны только с нулями Vj. Повторяя
сказанное выше для случая неподвижной жидкости, получим, что ветвления
К(?) и W(?) возникают при выполнении одного из условий:
j= 1,л+1. (6.49)
Пусть в нижней среде вектор v0 параллелен оси Ох, а ?2 = 0. Тогда
ветвление будет при = kt (kt v0ljco ± I)-1. В общем случае зависимость
модуля вектора ?, удовлетворяющего условию (6.49), от угла ipj с вектором
v0/-дается соотношением
?/ = A//(A/u0/-cd_1cos<ty± 1). . (6.50)
Для волн SH в твердом теле рассмотрение аналогично случаю неподвижной
жидкости. Точками ветвления будут точки ? = ±ktl, ±ktn + l, где kt -
волновое число сдвиговых волн.
А
Матрица рассеяния S упругих волн Р - S V дается формулами (4.87) -
А
(4.90), причем матричный пропагатор A(zn + 1, z,) является произведением
А
матриц слоев вида (4.70). Ветвление компонент матрицы S может возникнуть
только из-за зависимости от ее величин а;-, 0j - вертикальных компонент
волновых векторов продольных и поперечных волн в слоях и двух
полупространствах. Выражая компоненты матрицы слоя С4Л0) через ?, а, (3
при помощи соотношений соsOt = a/kt, cos0f = (3jkt и (4.63), можно
убедиться, что все компойенты являются четными функциями а и (3. Матри-
А А
ца L (4.67) содержит первые степени а и (3, в (4.87) входят матрицы L,
соответствующие обоим полупространствам. Поэтому компоненты матрицы
рассеяния упругих волн типа Р - S Vb твердом теле имеют четыре пары точек
ветвления: ? = ± jfc,,, ± kt,, ± к[п +1, ± ktn +,. Этот результат
иллюстрирует формулы (4.28) -(4.35), относящиеся к рассеянию на границе
раздела однородных упругих сред.
В слоистой среде, ограниченной однородными полупространствами, все точки
ветвления, как мы видели, имеют второй порядок. (Напомним, что особую
точку ?0 функции (? - ?0)^" называют точкой ветвления л-го порядка.) Если
полупространства неоднородны, но их параметры достаточно быстро стремятся
к своим предельным значениям при | z | -*¦ то характер ветвления
сохраняется. Например, для профиля Эпштейна, где р = const, a c(z) при |
z | -> °° стремится к своим предельным значениям экспоненциально, точки
ветвления коэффициентов отражения и прозрачности имеют второй порядок.
При более медленном выходе упругих параметров на предельные значения
возможны и другие порядки ветвления.
Покажем зто на примере отражения звуковой волны от слоистого
полупространства z < 0 вида
кг + а2 (1 -z/zj)-2, Zj >0, p(z) = p2 = const. (6.51)
Параметры однородного полупространства z > 0 обозначим к1,р1. Входной
импеданс нижней среды для рассматриваемого случая был найден в п. 3.2.
137
Согласно формулам (3.24), (3.26), (3.31), он равен
Z = шр2 I -- + ^-\пН?\{к1-еучЛ1 ,
i2zj dz i J
(6.52)
где
т = (0,25 -a2z2)1/2.
(6.53)
Для упрощения выкладок ограничимся случаем 0 <т < 1.
Чтобы установить характер ветвления Z(%) при % - ±к2, на основе
известного [240, гл. 9] представления функции Ханкеля
и из формулы (6.55) получаем Z = сор2(к2 - ?2)~1/2[1 +0((fc2 -?2)1/2)1,
что согласуется с точным значением: Z - p2c2/cos02 = сор2(к2 - ?2)~ .
Соотношение (6.55) показьтает, что в зависимости от параметра т входной
импеданс и коэффициент отражения могут иметь точку ветвления любого
порядка. Через а2 <* со2 характер ветвления зависит от закона изменения
скорости звука в полупространстве и частоты волны.
6.3. Неотражающие слои. Выше, в п. 2.3 при исследовании коэффициента
отражения звуковой волны от однородного слоя, заключенного между двумя
полупространствами, мы видели, что для определенных сочетаний импедансов
сред полуволновой и четвертьволновой слои могут сделать систему
неотражающей. При заданных значениях частоты и угла падения волны можно
указать целый класс слоистых сред, для которых V= 0 [414].
Воспользуемся результатами п. 3.1. Плотность среды считаем постоянной. В
качестве модельного уравнения (3.7) возьмем волновое уравнение в
однородной среде, тл. положим
Где n(z) - гладкая функция. Будем считать min n2(z) > sin20o. Согласно
формулам (3.8) - (3.10) функция
Ф(г) = А1Ф1 +А2Ф2, Ф1)2 = (п2-^n2e0)'I/4exp(±ik0j](z)), (6.58)
