Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
p(z0)c(z0), 0 = 0О*"5, получаем \р{\ = = 2sin5/(fcmcos25(rД3)1/2), что
совпадает с \р \ из (14.3), поскольку L = Д. Исторически лучевое описание
боковой волны [41, 43] явилось, по-видимому, первым использованием
концепции особых, дифракционных лучей для решения физических задач.
Впоследствии эта концепция легла в основу целого направления волновой
теории - геометрической теории дифракции [506,507,401,36].
Целесообразно несколько обобщить наши выкладки, чтобы учесть
стратификацию параметров полупространства z < 0. Будем считать, что
звуковое поле имеет интегральное представление (ср. (12.14))
Р = ехр (^iФ(")"Р 1*4'(")]dq,
Ф (<?) = Ф, С9) + Фа (Ч) (ч - О4-4)
где 0 < 7 < 1, qb - точка ветвления, функций \Р(q) имеет единственную
стационарную точку q = qs, ~ регулярные функции. Значения Ф^г,
Фи^ завйсят от координат источника и приемника. Рассмотрим
высокочастотную {к 00) асимптотику поля. Применяя к интегралу (14.4)
метод перевала, по формуле (11.9) находим вклад стационарной точки:
Р,= [-2тг/(гФ"(4S))]Ф(<г^)ехр[ЯгФ(<?^)] [1+0(*-1)]. (14-5)
Слагаемое ^(АГ1), которое мы не выписываем, с помощью (11.12) выражается
через производные Фи .Ф прн Q = Qs- Если разрез, связанный с точ-
302
кой ветвления qb, при деформации исходного контура интегрирования к
перевальному пересекается нечетное число раз, то в асимптотику поля дает
вклад точка ветвления. Вычисляя разность значений Ф(?) на берегах
разреза, получаем прн помощи (11.20)
Р,= гяГ-Ч-ЯФав") (к/г?1г l-ik* '("*)] ¦1_т X
X ехр {№Ф(?Ь) - (7г/4 - /тгу sgn Imffc'i''^)]} [1 + 0(fc-1)]. (14.6)
Лучевую трактовку формул (14.5) н (14.6) удобно дать, предварительно
тождественно преобразовав подынтегральное выражение [58, § 4.4], [87]
так, что вместо Ф н Ф оно будет содержать функции
*(<?) = *(<0 + а(Я - QbflK Ф(?)= Ф(?)ехр[-й(? - qb)y],
a=-i Ф2(ЧЬ)1Ф1(ЧЬ).
Преобразование (14.7) переносит основную (прн q " qb) часть зависимости Ф
от q на Ф.
Пусть 1 а | - 1, а к и qs ь вещественны. Тогда функция v(?) может иметь
один нлн два нуля. Одна стационарная точка существует во всех случаях.
Она близка к qs и дает в асимптотику интеграла вклад (14.5), который
может быть интерпретирован как поле обычного луча (см. п.16.2). Вторая
стационарная точка существует прн qb > qs или?й < qs ~ в зависимости от
соотношения параметров; она близка к qb н дает в поле вклад (14.6). Эту
точку, следовательно, можно сопоставить боковому лучу. Если разность qs -
qb делается малой, то нули функции Ф \q) сближаются и совпадают, когда
точка наблюдения находится на каустической поверхности - огибающей
семейства лучей, которая отыскивается из системы уравнений Ф#(?) = 0, Ф
"(?) = 0, как н каустика обычных лучей, подроб-' но рассматриваемая в §
17. Считая для определенности величину а вещественной и имеющей тот же
знак, что н Фг,(?5), можно получить неявное уравнение каустики в виде
= Т) (1 - Т)'1 [(1 - у)уаЦЫ'"(Ч^))] '/('-т). (14.8)
По разные стороны поверхности (14.8) функция Ф(?) имеет соответственно
одну и две стационарные точки, т.е. при переходе через эту поверхность
меняется число лучей, приходящих в точку наблюдения.
Из сказанного выше вндна близкая аналогия поведения стационарных точек, а
значит, н геометрии лучей в двух случаях: при перемещении точки
наблюдения в окрестности каустики обычного н дифракционного лучей (случай
а) и гладкой или имеющей несколько точек заострения каустики обычных
лучей (§ 17) (случай б). Существует, однако, н качественное отличие. В
случае (а) каустика отвечает переходу "2 -*• 1" в числе лучей, а в случае
(б)< при пересечении любой вегвн каустики количество лучей, приходищих в
точку наблюдения, меняется на четное число [149, 150,261].
Рассмотрим пример. Прн отражении сферической волны от границы однородных
жидкостей согласно (12.15), имеем: 7=1/2, Ф(?) = = [q sin 0О + (1 -
?2)1/2cos 0o]?i, <ls = sin 0O, 4b = sin 5. Из (14.8) получаем тогда
уравнение каустики в полярной системе координат с центром в мнимом
источнике: 0О - 5 = '3(2л)1/3(1 -
303
Отметим, что форма каустики зависит от частоты звука. Прн Ri -+°° имеем
0О "*¦ 5. Однако расстояние от каустики до прямой 0О = 6 монотонно растет
с ростом Ri. Каустику можно легко получить также, строя лучи с учетом нх
смешения прн отражении (рис. 14.3). На рисунке отсутствуют лучи в области
между каустикой и прямой 0О = 6. В дальнейшем мы увидим, что эта область
принадлежит к той окрестности каустики, где лучевые представления
неприменимы и подсчитывать число лучей бессмысленно.
Рис. 14.3. Образование каустики в результате смещения лучей: S -
источник. 5, -мнимый источник. Каустика показана жирной линией
При сближении критических точек qs и qb формулы (14.5) и (14.6) перестают
быть справедливыми. Обозначим через р2 значение интеграла
(14.4) при Oj = 0. Равномерную асимптотику р2, пригодную при любом
расположении точек qs и qb, можно получить исходя из (11.74). Она
содержит функции параболического цилиндра. Не приводя вывода (ои вполне
