Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
С,й Ц,) = С$(kk')+ i V(kk’)Уу + ... , (44.63)
У
можно получить ряды для и w^/cjX) из однородных уравнений
(44.47) методом возмущений. Так, если ш2(/) и w(к | /) представляют собой решения уравнений (44.47) в пределе у = 0, т. е. если
§ 44. Микроскопическая теория дисперсии
389
со2 (/') w* (k\i) = 2 Cafi (kk') We (k'\i), (44.64)
k’p
то легко убедиться, что метод возмущений дает
«2р) = (i) + ^ 2\22(^")тт0к'Ц)уу + ... ,
У у Ikk' ар
(44.65)
иЦ^) = W« (А|/) +
f 2’ С<],> (Л' **) (fc'l/')®, (ГI/) |
+ (/) -шг(/')-«'-(*!'¦') (^+---
(44.66)
Отметим, что в вышеприведенных формулах все величины ш2(/), Щк | /), С%\кк'), С%]у{кк'). . . вещественны (см. § 31).
При рассмотрении оптических волн в инфракрасной области достаточно удержать только главный член как в (44.58), так и в (44.59). В этом приближении а^ получается путем непосредственной
замены w2 pj и w[к jy) в (44.54) на ш2(/) и w(к | /); иными словами,
Еп/з имеет значение, соответствующее длинноволновому пределу у = 0. Таким образом, формула для еа/з идентична дисперсионной формуле, полученной ранее в § 33 и 34. С другой стороны, вектор гирации G получается, если разложить (44.54) в ряд с помощью разложений (44.65) и (44.66) и выписать все линейные члены. С помощью соотношения [см. (26.4) и § 31 ]
С%\, (кк') = - С<1>, (к' к) (44.67)
находим после некоторых упрощений
г V V V *
— 2, Уу 2 ^ (ш2 (/) - Шг) (Шг (/') - ш') *
х|^%s.W)|(^^(*T)|x
х|22^(ft'i/) ЭД-,(к" П iv. (A"i/') j, (44.68)
I /?* ft k*'v )
а остальные компоненты могут быть получены путем циклической перестановки индексов 2 и 3 в правой части. Согласно (44.67), выражение в правой части меняет знак при перестановке индексов
390
Глава 7. Оптические эффекты
2 и 3. Следовательно, (44.68) можно выразить также и в векторной форме
G = ~ Va 2 У' -у 2 (ы“ (/) - ь,2) (шг (/') Х
х j >’ У-г---—- [w(fc!/) х w(A' /')] j X
j-Ь. {mkmk'Y-i l 4 " 4 ¦
x I.212 ^ (A'i/) С (A* A'") Wv (A"!/')! ¦ (44.69)
Как мы видели, если пренебречь поперечным электромагнитным полем, динамика системы может быть описана с помощью потенциальной функции. Соответствующие нормальные колебания, рассмотренные нами в гл. 5, описывают в основном свободные осцилляции нормальных координат, отвечающие потенциальной функции Ф. В этом приближении использование квантовой механики вместо классической влияет на нормальные колебания лишь постольку, поскольку нормальные координаты должны рассматриваться как квантовомеханические переменные. Вышеприведенное рассмотрение учитывает классическим образом то обстоятельство, что такое нормальное колебание испускает поперечное электромагнитное поле и, в свою очередь, видоизменяется последним ; с учетом этого видоизменения нормальное колебание представляет собой оптическую волну. Можно показать [1 ], что если в качестве поля, действующего на нормальные координаты (рассматриваемые теперь квантовомеханически), принять то же поперечное электромагнитное поле, что и в классическом рассмотрении, то квантовомеханические ионные токи, индуцированные полем, совпадают со значениями, получающимися из классического рассмотрения. Таким образом, из этого следует, что квантовомеханическое рассмотрение движения нонов оставляет результаты вышеизложенной классической теории совершенно неизменными.
§ 45. Локальное рассмотрение оптических эффектов
Такая же формула для диэлектрического тензора е0^(ш), какая получается из микроскопической теории, может быть получена также с помощью результатов, установленных в гл. 4. Там были получены некоторые общие формулы, относящиеся к оптическим эффектам молекулярной системы, находящейся под действием электромагнитной волны, длина которой велика по сравнению с размерами молекулярной системы. Дисперсионная формула для кристалла по существу есть локальное соотношение, т. е. она связывает макроскопическое поле с диэлектрической поляризацией в одной и той же точке (в макроскопическом смысле). Поэтому можно
§ 45. Локальное рассмотрение оптических эффектов
391
непосредственно применить общие формулы гл. 4 к выводу дисперсионной формулы для кристалла, если произвольная локальная часть кристалла ведет себя практически как независимая система, и если макроскопическое поле оказывает на эту локальную часть практически такое же действие, как наложенное внешнее поле. Это действительно имеет место, как мы видели в связи с интерпретацией уравнения первого порядка (31.34); итак, мы убедились, что если макроскопическое поле интерпретировать как поле, наложенное извне на локальную часть кристалла (малую по сравнению с длиной волны), то последняя, с динамической точки зрения, практически не связана с остальной частью кристалла. Напомним, кроме того, что благодаря отделению макроскопического поля возвращающие силы, возникающие в результате локально однородной внутренней деформации, определяются коэффициентами C$(kk'), а не коэффициентами C$(kk'), которые для ионных решеток расходятся. Если ввести для такой локальной части кристалла нормальные координаты так, как указывалось в § 38, то внутренняя
