Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Длины оптических волн в инфракрасной области столь велики (они превышают постоянную решетки в ~ 105 раз), что разница
между коэффициентами С„д QL) и CinJ(kk') весьма мала. Однако
благодаря этой разнице уравнение (44.44) приводит к дисперсионной формуле, которая может описать оптический эффект особого типа, а именно оптическое вращение (см. Приложение IX). Рассматривая Ёа в (44.44) как наложенное внешнее поле (ср. § 31), можно, исходя из (44.44), написать дисперсионную формулу, следуя методике § 33. По аналогии с (33.14) рассмотрим систему линейных однородных уравнений, получающихся из (44.44) путем отбрасывания последнего члена. Эта система имеет 3п независимых решений для каждого у. Соответствующие частоты являются решениями секулярного уравнения
\(o26kk-d„p-C^ Ц,) | = 0. (44.46)
Обозначил! эти частоты (по поводу обозначений см. § 24) через о* (X), / = 1,2,..., Зп, где черточка над ш введена для того, чтобы отличать решения системы однородных уравнений от решений системы (44.44). Для данной частоты ы Зп величин wu (*|| ), к = 0, 1, . . . , п — 1, тождественно удовлетворяют уравнениям1)
]) Не следует смешивать н'а (к j ] с величинами wa (к), входящими в (44.45).
§ 44. Микроскопическая теория дисперсии
387
Из (31.25) следует, что коэффициенты Сар (Д.) образуют эрмитову
матрицу ЗпхЗп. Поэтому все частоты вещественны, и решения можно выбрать так, чтобы было (ср. § 38)
У wa (k jy.) w* (к f) = дп., 2, [к |f) w* (к' j/) = дкк- <W.
ка j I, .
(44.48)
и
¦(/г !y)=iv(A-j-y). (44.49)
w1
Следуя методу, изложенному в § 33, запишем решение неоднородного уравнения (44.44) в виде линейной комбинации Зп решений однородных уравнений
w {к) = 2 aj w [fc jj) ¦ (44.50)
Подставляя (44.50) в (44.44) и используя (44.47), получаем
“* 2 а‘ *¦ (* I!) = 2'“г(J-) 5- (* I) - 7= ~Е- («-51)
Умножая это уравнение на |у) и суммируя по к, а с использованием (44.48), найдем
а, = -
) у ekw*a(k |У)
со2 fyl _ 0,2 I Ттк
Еа. (44.52)
Диэлектрическая поляризация легко получается из (44.50) и (44.52) согласно (44.36); таким образом, находим
Р° = -- 2 ПР(- = 2 а°е (У*ш) Ё>> ’ С44-53)
Va ь Ьпк у
где
^П(3 (У) <и) —
1
va
J \ г t "‘к' J I к у шк
(44.54)
есть тензор диэлектрической восприимчивости ; заметим, что он зависит как от волнового числа у, так и от частоты.
25*
388
Глава 7. Оптические эффекты
Из (44.54) ясно, что тензор восприимчивости является эрмитовым :
я«* (У.w) = afr< (У.ы) ¦ (44.55)
Кроме того, в силу (44.49)
flafl(-y,o)) = а*р(у,со). (44.56)
Поэтому если разложить аар(у, ш) в ряд по степеням у, то четные и нечетные члены должны быть вещественными и мнимыми соответственно. Разбивая тензор на его вещественную и мнимую части, имеем
(У.") = <) (У,ы) + iaip (У, со), ’(44.57)
где члены правой части выражаются в виде рядов
(У. т)\= а’Ф И + у ^ (°>)Уу У>-+ ¦¦¦ - С44-5^)
у*
а\? (У, “) = 2' у (о>) Уу + ¦ ¦ • (44.59)
У
Поскольку главный член а^(у, го) линеен относительно волнового числа, то для оптических волн в инфракрасной области мнимая часть очень мала по сравнению с вещественной. Из (44.55) следует, что — симметричный тензор, а а'а1) — антисимметричный тензор. Поэтому (44.53) можно переписать в виде
Da = Еа + 4яРа = 2’ еар Ец + i [EG]a, (44.60)
где
eaf> = ЬаЦ + 4 п й% (у, Со) = Е?.л (44.6 1)
и
G1 = 4гга27з(у,со)=— 4ла'2(у, со) и т.д. (44.62)
Величина G известна под названием вектора гирации. В Приложении IX показано, что вещественный диэлектрический тензор еар и вектор гирации G обусловливают, соответственно, явления двойного преломления и оптического вращения.
Ряды (44.58) и (44.59) можно представить в явном виде, если
иметь выражения ш2 (Xj и w^/л ^в виде рядов по степеням у. Написав [см. (31.20)]
