Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Имея в виду это соотношение, можно получить (44.13) из (44.15) путем дифференцирования по времени.
Остальные уравнения (44.12) и (44.14) определяют поперечное электромагнитное поле и не влияют на продольное поле. Поэтому если пренебречь поперечным полем, то уравнения Максвелла— Лорентца приводят просто к незапаздывающему кулоновскому электрическому полю. Это и есть приближение, лежащее в основе теории колебаний решетки, изложенной ранее в гл. 5. За исключением частного случая строго продольных колебаний, колебания ионной решетки связаны с отличной от нуля поперечной плотностью тока (р v)1. Последняя создает поперечное поле, определяемое уравнениями (44.12) и (44.14). Если учесть это поперечное поле, то нормальные колебания будут описывать то, что наблюдается экспериментально как оптические волны.
Электрические силы, переносчиками которых являются соответственно продольные и поперечные поля, различаются в одном существенном отношении : первые могут быть описаны с помощью потенциальной функции (кулоновского потенциала), тогда как для последних это невозможно. В соответствии с этим запишем уравнения движения для ионной решетки (в гармоническом приближении) :
+ ek lim |е^(х)— (поперечное поле в х от j, (44.18)
где Ф включает энергию кулоновского взаимодействия между ионами. Без последнего члена уравнение (44.18) было бы тождественно уравнению движения, лежащему в основе проведенного в § 31 рассмотрения колебаний ионных решеток. Последний член
выражает силу, действующую на ион (Л со стороны поперечного
§ 44. Микроскопическая теория дисперсии
381
поля, создаваемого остальными ионами. Магнитное поле Н1 действует на ион Ц) с силой
v ю*"1 «ж
Поскольку Н1 вызывается движением ионов, то вышеуказанная сила является величиной второго порядка относительно смещений ионов, и потому в гармоническом приближении ею следует пренебречь.
Вышеприведенное уравнение движения следует рассматривать совместно с уравнениями (44.12) и (44.14), определяющими поперечное поле. Мы увидим, что и эти уравнения удовлетворяются решениями вида [см. (24.5) ]
u 0=w {k) ехр Ну х (3 ~ ш) ¦ (44-19)
Рассмотрим сначала поперечное поле, создаваемое ионами, движущимися в соответствии с (44.19). Плотность тока может быть выражена с помощью 6-функции Дирака в виде
- j-ia2 - «0) “P Ну (‘ К) -«)](x
x exp [2лi у x — ia)t]. (44.20)
Выражение в фигурных скобках является, очевидно, периодической функцией с периодичностью решетки. Следовательно, ее можно представить в виде ряда Фурье
2,J(ft)e2”'y(/0\ (44.21)
h
коэффициенты которого равны [см. (22.22)]
J «й)х
по нулевой 1К ячейке
х ехр 12л1 у (х^j — х j — 2rci у (h) хj dx =
= 2 y=-w (*) exP 2ni У x (*)} ¦ (44-22>
382
Глава 7. Оптические эффекты
Разобьем J(/z) на две составные части Jn(ft) и Jх(/г), соответственно параллельную и перпендикулярную к у + у (/г). Тогда можно написать
(pv)' = 2" J" (ft) ехр {2ni (у + у (ft)) х - icot}, (44.23)
ft
(pv)1 = 2’ J1 (Л) exp {2я1 (у + У (ft)) х - ito/}, (44.24)
ft
так как легко убедиться, что векторы (44.23) и (44.24) являются соответственно безвихревым и соленоидальным. Поперечное электромагнитное поле может быть представлено аналогичными рядами
Е1 = 2' Е1 (/г) ехр {2лi (у + У (ft)) х — icof}, (44.25)
ft
Н1 = 2" Н1 (/г) ехр {2ni (у + у (/г)) х - icot}, (44.26)
h
где коэффициенты — векторы, перпендикулярные к у + у(ft), так что эти выражения соленоидальны. Эти коэффициенты можно определить путем подстановки рядов в (44.12) и (44.14):
2л 2’ [(У + У'(л)) Е1 (/г)] ехр {2лi (у + у (/г)) х — iwt} = ft
= — 2 Н1 (ft) ехр {2л'1 (у + У (Л)) х — icot}, (44.27)
С ft
2л 2’ [(у + У (ft)) н± (ft)] ехр {2лi (у + у (/г)) х — г со*} = h
= J? (— со Е1 (ft) — г 4л J1 (ft)) ехр {2тп (у + У (ft)) х — icot}. (44.28)
Из независимости отдельных плоских волн следует [(У + У (ft)) Е1 (ft)] = -g— Нх (ft)
(44.29)
[(у .+ у (ft)) Н1 (ft)] = ( - & (ft) - j1 (ft)). (44.30)
Образуя векторное произведение (у + у (ft)) и (44.29) и. исключая с помощью (44.30) магнитное поле, получаем
- (У + У (ft))2Е1 (h) = Е1 (ft) - ^J4ft)), (44-31)
Eiw = —{h) ¦ (4432)
§ 44. Микроскопическая теория дисперсии
383
Первый член каждого из рядов (44.25) и (44.26) содержит фазовый множитель
ехр {2л i у х — icot)
