Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы Yf° (0,0) было действительным положительным числом.
Произвольную функцию Y"1 получаем из Yf±f: многократным
действием операторов ?±:
ут ________
-L 0 -
(i + т)\ 1/2 0-т -yl _ {l - т)\
(2 t)\(t-m)\_ г 1е - (2 l)\(l + m)\_
1/2
Далее используем явный вид ^:
54
f
fi+Cim<pf(e) = Ci[m±])<p :
, J cos#
+-------m-------
dQ sin#
)/(0)=
-+c'(m±,v sin1±m в
dcosO
sin#/(#).
Отсюда
%cim<p f(e) = (+\)n cl{m±n)<p sin"±m # d" , (sin+m Of (в))
d{cos#)"
Имеем функцию (см. выше)
7/ (#, <р) = се sin" 0 Qll(p.
Нормируя ее условием |у/1| = 1, получим
\2? + \ УШ
с А =
21?\
4 п
Теперь находим
{? + т)\
1/2
il-m
Qim<P sin"m #
-sin2"#
d{cos6y
(2 ?}.(?-m)\_
При m = -? отсюда следует
Yf =(-1 )lctzil(p sin"#.
Тогда находим эквивалентное выражение для собственных функций:
(? - т)\
1/2
zim<p sinm #
sin2"#.
_(2?)\(? + m)\_ d{cos6)l+m
В частности, при m = О получаем:
7° -___°l_____-_____(\ _ cos2
1 J2?).d{c os#/1 }
Введем полиномы Лежандра
Р^~ 2* ?\ dxk
Отсюда и из введенного выше условия фиксации фазы функции 7/ находим
нормировочный коэффициент
ci = (- l) Ici | ¦
Определим функции Лежандра в виде:
1 d />,(!)= 1
dx
где т = 0,1, 2,..., ?.
Тогда окончательно получим:
dx
55
1/2
i^(cos0)e
imq>
|(m+|ni|)/2 21 + 1 (l ~ |iw|)
4л- (7+|wp!
Отсюда находим соотношение между функциями Yfm :
Yr{e,<p) = {-l)mYf{e,<p).
В математической литературе Y"1 {в, (р) называются сферическими
функциями.
Рассмотрим их преобразование при дискретном преобразовании
координат - пространственной инверсии fi, отвечающей переходу от правой
системы координат к левой:
г -> г' = -г, или 0^>л-в,<р^><р + л.
Из общего выражения для сферических функций сразу следует закон
преобразования:
fir? {в, ч>) = У" (ж - в, ср + я) = (-1)' у; (в, Ч>) ¦
Следовательно, Y(tm) - собственные функции оператора четности fi,
принадлежащие собственному значению +1(-1)при четном
(нечетном) ?.
Общая структура сферических функций такова:
Y(tm) = произведение функции Qim<p sin^ в четности (-1)^ и
полинома по cos в степени ? - \т\ и четности (-1)^т1. Приведем несколько
частных значений:
y'°=J5cos*'Y*=-+&Ше±,г;
Y;=]I^Pt(c°s0); У/=(-1)'
21 + 1 (2?)
4п 22?(?!v
1/2
sin? 0ei?<p.
Замечание. Сферические функции связаны с гармоническими полиномами
степени ? по jc, у, z соотношением
h'(r) = rX(6,<p)-
При заданном ? имеем 2^ + 1 линейно независимых полиномов. Как известно,
гармоническая функция по определению удовлетворяет уравнению Лапласа:
v2/*; =0.
В нашем случае это легко проверяется с использованием выражения оператора
Лапласа, которое выводится ниже (см. п. 9):
"г 1 дг ?
V =------Г----
г дг г
56
Пример. Пусть ? = 1. Тогда получаем три гармонических полинома /г"' =
rY(tm), т = 0, ± 1:
А,°=Д*,
1 Нл- 1 Нл- л/2 Сферические функции Y(tm) реализуют неприводимое (2^ +1)-
мерное представление группы вращений SO(3), образуя базис в пространстве
функций, заданных на сфере единичного радиуса.
Покажем теперь, что целочисленность ? следует из более слабого
требования, чем однозначность волновой функции. В общей теории момента
фундаментальную роль играют соотношения (см. выше)
$±Vjm ~ WUm±X J ?+Wjj = 0> ?-Vj,-j = 0 •
Отсюда следует
PJ'W, - о.
В рассматриваемом случае орбитального момента получаем
Р"+17/ =0.
Покажем, что это соотношение не выполняется, если 2? +1 = 2п -четное
целое число. Для этого удобно использовать декартовы координаты, в
которых имеем:
?=%-&у= ЬЛуЯ ~ zfiy - i{zfix - xfiz )] = (*- iy)dz - z(dx - idy);
7/ = cf (c^ sin ej =^j(x + iy)e.
r
Заметим, что для произвольной функции f{r), г - sjx2 + у2 + z2,
имеем fkf(r) = 0. Далее сделаем комплексную замену переменных:
и = х + iy, V = х - iy; f ~ vdz - 2zdu.
В результате приходим к соотношению
(vdz-2zdu)2nun-1/2=o.
Оно должно выполняться тождественно, что невозможно при целом п = ? +1 /
2. Следовательно, ? - целое число. Более подробное рассмотрение
показывает, что для полуцелых ?{=\/2,3/2,...)
операторы момента ^ оказываются неэрмитовыми, т.е. не могут быть
наблюдаемыми.
8. СПИН
8.1. Оператор спина
57
Эксперимент показывает (см. ниже), что электрон, наряду с орбитальным
моментом, имеет собственный момент импульса -спин (от англ. spin), не
связанный с его движением в пространстве. Проекция этого момента на
заданное направление может принимать только два значения ± h / 2. В общей
теории момента (см. п. 7) этому отвечает квантовое число j = 1/2.
Таким образом, электрон обладает четырьмя степенями свободы, и его
волновая функция у/ = у/(г,?), где дискретная переменная,
отвечающая проекции спина на ось z (выбор ее, конечно, условен), ? =
±1/2. Иначе говоря, состояние частицы описывается
упорядоченной парой функций:
Vl(r)' V(r,f = +l/2)'
Формально это означает, что от пространства квадратично интегрируемых
волновых функций И = L2 (r3 ) мы переходим к прямому произведению
Н 5 =z2(r3)(r)c2,
где С2-двумерное комплексное пространство.
Наблюдаемой I в Н отвечает в Hs наблюдаемая а 3 в
С2 соответствует в Н5. В пространстве Н s существуют,
