Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
ыл =
(му
1/2
d(A)
dt
Тогда получим
где АЕ = 1(АЕ)
АЕ • A tA >
П
1/2
Следовательно, множество значений AtA для
всевозможных наблюдаемых ограничено снизу. Определим время, за которое в
процессе эволюции системы заметно изменяется распределение хотя бы одной
из наблюдаемых:
At = inf A t..
А Л
Тогда получаем, что для любого состояния у/ справедливо соотношение,
называемое соотношением неопределенностей "время
- энергия"'.
AE-At>-.
2
Подчеркнем, что здесь АЕ - неопределенность энергии в состоянии у/,
которая от времени не зависит (в силу дЙ/ dt = 0).
Качественно СН "время - энергия" может быть получено из анализа эволюции
волнового пакета, рассмотренного выше в п. 2: разброс частот в пакете и
характерное время его расплывания связаны условием А со • А? > 1.
Учитывая, что АЕ = fiAco, получим АЕ • At > h.
37
6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
6.1. Осциллятор в классической механике
Гармоническим осциллятором (ГО) в классической механике называется
система, описываемая гамильтонианом (см. выше п. 1)
1 2 тсо 2
н = -р: +--------х .
2т 2
Уравнение движения
х + со2 х = О
имеет общее решение
jc(^) = A cos(<z> t + в), где А ив- произвольные постоянные. Оно
описывает гармонические колебания частицы около положения равновесия jc =
0. Энергия осциллятора - интеграл движения
Е = -тсо2 А2 = const,
2
она принимает произвольные неотрицательные значения.
К ГО сводится задача о движении частицы в потенциальном поле U(q) при
условии, что потенциал имеет локальный минимум в точке
q = q0, и в ее малой окрестности справедливо разложение:
U(q) = U{q" ) + Uj"{q" )(q-qj+-.
Введя новую координату x = q-q0 и обозначив U"(q0) = тсо2 > О, получим
потенциал ГО при условии, что энергия частицы Е близка так что можно
пренебречь высшими членами разложения
по х. При этом всегда можно положить t/(#0) = 0 ввиду произвола
выбора начала отсчета энергии.
Заметим, что ГО - простая модель, описывающая приближенно колебания
атомов в молекулах, в твердых телах (вблизи узлов кристаллической
решетки), колебания поверхности атомных ядер и др. Однако для таких задач
классическая теория неприменима.
6.2. Стационарные состояния осциллятора
В квантовой механике ГО отвечает оператор Гамильтона
Й = ^-$2Х +^-тео2?2, [?bfix] = ih.
2т 2
Рассмотрим стационарные состояния ГО, используя координатное
представление (?= х, jS = -ihd/dx ):
38
й J
Стационарное уравнение Шрёдингера {й -Е^ф = 0 принимает вид:
d ф 2т
-т -т dx h
v
17 т 2 2 п Е--со х Vp-'J.
Удобно ввести безразмерные координату и параметр:
г х .2 Е
% = -, ^ = >
JC0 ПО)
где характерная длина
П
х0 =
I тсо
Тогда получим уравнение
ф" + (л - %2)<р = 0.
Найдем сначала асимптотику решения ф^ при |<^| -> оо:
ф"~%2ф = 0, Ф = ФХ =С1е"|2/2 +С2е|2/2.
Потребуем выполнения условия ||^|| < оо, что соответствует
финитному движению в классической механике. Тогда решение УШ должно иметь
вид:
где V- полином конечного порядка по Для получаем
уравнение
vn-2^v' + (X-\)v = 0.
Ищем его решение в виде степенного ряда:
00
к=о
Подставив ряд в уравнение и сделав очевидные замены индекса
суммирования, находим:
00
К* + Ф +1 )См + (я -1 - 2*)ct ]=о.
к=0
Отсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда:
2к + \-Л °к+2~(к + ф + 2)°к-Ряд превращается в полином только при
Л = 2п +1, п = 0,1, 2,... .
Следовательно, энергия осциллятора Е = М(о/ 2 должна быть квантованной:
/
Е.. = hco
п
П
п +
V
Заметим, что
Еп>Е()= -heo > О, о 2
В классической же теории Emin = 0. Напомним (см. п. 1), что согласно
первоначальному постулату квантования Планка En=rihco.
Рассмотрим собственные функции фп{х). Полученное выше рекуррентное
соотношение связывает коэффициенты при степенях ? одинаковой четности.
Это не случайно: гамильтониан ГО - четная
функция х, Й{- х) = Й(х). Поэтому <^(х)и (рп (- х) принадлежат одному и
тому же собственному значению Еп. Но в одномерном случае вырождение, как
известно, отсутствует, т.е. <рп(-х)= Ссрп(х), С = const. Учитывая, что
произвольная функция всегда может быть представлена в виде суммы четной и
нечетной функций:
(р(х) =<р+(х)+<р (х), (р±(х) = ^[^(х) + (р(-х)] = +(р±(-х),
получаем, что собственные функции должны быть определенной четности.
Формально это означает существование оператора
четности fi:
fi<p(x) = (р{- х), fi2 = §,
коммутирующего с гамильтонианом: [Й,3\ = 0. Его собственными функциями
являются ф+{х)\
&р±(х)=+<р±(х).
В рассматриваемом случае ГО из рекуррентных соотношений следует, что
четность q>n (х) совпадает с четностью п:
(Рп ("*) = (-!)>" W-Полагая с0 Ф 0, с, = 0, получим четные собственные
функции, а при
с0 = 0, сх Ф 0 - нечетные.
Нормированные волновые функции стационарных состояний ГО имеют вид (их
вывод мы дадим ниже простым алгебраическим методом):
<Рп(х) = Уй 2пп\х0) 1ПНп(^Уе/2.
Здесь введены полиномы Эрмита:
В частности, 40
Н0 = 1, Нх = 2?, Н2 = 4?2 -2, Я3=8?3-12?.
Покажем теперь, что ненулевое минимальное собственное значение энергии
осциллятора Е0 прямо следует из соотношения
