Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
I |2
физический смысл параметра \а\ таков:
00
H2=W=Sww"-
п=О
До сих пор мы рассматривали состояние осциллятора фа в фиксированный
момент времени t = О. Состояние %а при t > О получим очевидной заменой
базисных векторов в разложении
Фа=Т^Сп(Рп ¦
<Рп^>У/п=еЧ> ~^En?j(pn.
Учтя выражение для спектра En/h = (o{n +1/2), получим закон эволюции во
времени минимизирующего состояния:
J. . _. -i(Ot!2 1
Фа Ха = Фа, •
45
Отсюда следует, что %а, как и фа, также собственный вектор оператора ?:
&Za =<XtZa-
Вычислим среднее значение координаты осциллятора в состоянии ха • Удобно
использовать представление
Тогда получим
л/2 '
^ = ^ +а'^
-w
или, полагая а = or е
(jc) = A cos {cot + в), А = V2|"|jc0 .
Таким образом, среднее значение координаты в состоянии %а изменяется по
классическому закону.
Найдем явный вид ха > решая уравнение &фа = афа в
координатном представлении:
-(г+-'
л/2 r + d?
В результате получим нормированное решение Ха=ъ1Ю1Пфа1 = У~7гх0)1/2 exp -
^r + i(^-";)2-i(^-V2"J
представляющее собой нерасплывающийся волновой пакет. Впервые он был
построен Шрёдингером в 1926 г. Координаты в состоянии Ха распределены по
нормальному закону:
Р{Х) =\Za\2= -Л-еХР ~\{Х~АCOS
хп
Центр пакета движется по классическому закону, ширина пакета не зависит
от времени:
Как уже было показано выше, энергия в пакете распределена по закону
Пуассона:
M.E = En) = \(wn,Zaf =^_е"("), (п} =
а
Независимость распределения от времени обусловлена тем, что гамильтониан
осциллятора - интеграл движения.
Средняя энергия может быть выражена через амплитуду
колебаний около центра пакета А = V2|"|jc0 :
46
Эта формула отличается от классической добавлением в правой части энергии
основного состояния осциллятора Е0=На>/ 2 (см.
распределение Пуассона переходит, как известно, в нормальное
распределение Гаусса).
Заметим, что теоремы Эренфеста для ГО дают классические уравнения
движения для средних:
Это объясняется квадратичной зависимостью потенциала ГО от координаты.
Итак, мы построили нерасплывающиеся волновые пакеты /а, минимизирующие
соотношение неопределенностей "координата -импульс". Они описывают
состояния ГО, максимально близкие к классическим. Эти состояния называют
когерентными состояниями, так как они используются для описания
когерентных свойств электромагнитного излучения в квантовой теории поля
(R. Glauber, 1963): можно показать, что свободное электромагнитное поле
эквивалентно бесконечному набору независимых гармонических осцилляторов.
7.1. Коммутационные соотношения
Оператор момента импульса частицы определим, используя принцип
соответствия, в виде
выше), которой можно пренебречь только
этом
откуда
7. ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Ё = Ex § = -itir х V = ? fz ? .
Я fiy Я
47
Напомним (см. п. 5), что оператор момента естественно определяется как
генератор группы вращений в пространстве волновых функций.
На основе коммутаторов (фундаментальных квантовых скобок Пуассона)
[?*,$,] = ih8kn получаем
[ДД ]=ЕЖ - -<$л = &ЖА + =
=>ЧЩ -Ж)=й^-
Используя циклическую перестановку индексов, получим еще два соотношения.
В итоге:
[4 Д ] = > |Д Д ] = " |Д Д ]= **Д •
В тензорной форме:
ДД] = *^ьД>
или символически:
[Ё х Ё] = гйЁ.
Введем оператор квадрата момента
ш=§1+§у+§t.
Вычислим его коммутатор с компонентами момента:
=?([ДД]Д +Д,[4,Д])=й^(^Д +§Ah о-
п
Итак, квадрат момента коммутирует со всеми компонентами:
[4,#]=о.
Этого и следовало ожидать, так как скаляр при поворотах системы координат
не изменяется.
Рассмотрим теперь алгебру операторов момента в общем виде, не фиксируя ее
представление. Выбирая h в качестве естественной единицы измерения
момента и обозначая (безразмерные) компоненты Зк, получаем коммутационные
соотношения в виде:
&А = 1еы$" Й,#2] = 0.
Введем неэрмитовы сопряженные друг другу операторы Тогда получим
коммутаторы:
[ДД] = ±?, [f,f] = 2f_, [#2Д] = [#2Д] = о.
Квадрат момента удобно записать так:
Отсюда с учетом 3+3_ -3_3+ = 2$z находим 48
?Л=#2-4(Д+1), ??=#2-Д(Д-1).
7.2. Спектр операторов ? и
В силу [S'2, S'z ] = 0 существует общая система собственных векторов этих
операторов:
= *'Vbn> ^?ы=т?ы-Покажем, что Л>0. Имеем
2
^ = {гы $1?ы)= Z '% Уы)= Z11 ¦? ?ы
>0.
где учтена эрмитовость операторов Зк.
Из полученных выше тождеств для произведений операторов s-A находим:
= [^2 " -Я (¦? ±1 \уы = 1Л ~ т(т ± !)]^ •
Умножив слева скалярно на у/ы обе части этих равенств, получим с учетом
(("*,. ("tab [$±?ыД ("*¦)= W "т(т ±ЩУы.Ч'ы)-
Следовательно,
= [Л-т{т±\)\\\Гы(-
В силу неотрицательности нормы вектора имеем:
Л - т{т ± l) > 0,
или
Отсюда
где
т2 + т -Л < 0, т2 -т-Л < 0.
<т< mt,, | т~ <т< т,2, J
т,+0 = -- + Va , m,,= - + VA, А= - + Л> -. 1)2 2 1,2 2 4
4
Получаем решение системы неравенств:
-- Va <т< --+Va .
Обозначим
49
j = л/А - - > 0.
2
Тогда находим:
^ = УС/ + !)'
- j <т< j.
Далее собственные векторы будем обозначать у/.т.
Так как ||^|| = 0 •<-" у/ = 0, то $±y/jm = 0 тогда и только тогда, когда
j(j +1 )-т(т +1) = (j + m\j ±m + l) = 0.
