Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
сп он не может превышать 1/2. С другой стороны, будучи функцией многих
независимых параметров, он не может и равняться 1/2 тождественно. Отсюда
следует, что в условиях (7.41) и (7.41') вероятность Qb оказывается
конечной.
в) Лоренцево поле. Заранее очевидно, что в случайных полях такого типа
вероятность возникновения достаточно больших флуктуаций потенциальной
энергии носителя заряда не меньше, чем в случаях а) и б); соответственно
следует ожидать, что и здесь вероятность Qb окажется конечной. И
действительно, пользуясь формулами (7.47) и (7.48), мы получаем из (9.21)
со
Яь > 4 + п § К1 ^ sin KVmin - а) S1ds> (9-31)
0
где
* = [$dk|S(k)|2/?(k)]1/2. (9.32)
Интеграл в правой части (9.31) легко вычисляется (см. Приложение
VI), и мы получаем (при vmin < 0)
Qb>-\ 1--------. ,,.a±J.v.mlni..==-l > 0. (9.21"')
2 L V(a + I Vm | )2 + X2 J
Легко убедиться, что неравенства (9.21') - (9.21"') не связаны со
специфическим видом вспомогательного закона дисперсии (9.2). Последний,
согласно (9.23), влияет лишь на величину константы а. Иначе говоря, вид
закона дисперсии, отвечающего вспомогательной задаче с чисто
периодическим полем, может влиять на число дискретных уровней и на их
распределение по энергии, но не на сам факт их существования.
Итак, вероятность возникновения дискретных флуктуацион-ных уровней в
случайных полях всех трех рассмотренных нами типов оказывается конечной.
Причина этого очевидна: в этих полях отличны от нуля (хотя, может быть, и
невелики) вероятности образования достаточно глубоких *) и широких
флуктуа-
*) Разумеется, слова "достаточно глубоких" имеют здесь лишь формальный
математический смысл. Фактически, в силу условий применимости данных
моделей, мы не имеем права рассматривать уровни с энергиями ионизации
порядка ширины запрещенной зоны. Весьма часто, однако, последняя
значительно превосходит все другие характерные энергии электронов (в том
числе и 'Ф^2). что и оправдывает наши рассуждения.
§ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
107
ционных ям. В принципе, разумеется, возможны и другие типы случайных
полей. Так, могло бы оказаться, что возможные значения функции U(г)
ограничены по модулю величиной, сравнимой с характерной энергией
электронов (или даже меньшей ее). Тогда флуктуационные ямы нужной глубины
могут и не возникнуть. Формально это проявляется в том, что аргумент
ступенчатой функции в формуле (9.17) не сможет оказаться положительным.
Исследование ограничений такого типа, однако, требует конкретизации
рассматриваемой модели случайного поля. В системах, указанных в пунктах
1)-4), 7) и 8) § I. 1, они, по-видимому, не имеют места.
Обратимся теперь к вопросу о возможности локализации двух электронов в
одной и той же флуктуационной потенциальной яме. При этом, очевидно,
необходимо явно учитывать куло-новское взаимодействие между двумя данными
электронами. С другой стороны, влияние всех остальных носителей заряда,
как и при рассмотрении "одноэлектронных" уровней, может проявиться лишь в
экранировании силовых полей. При этом мы примем во внимание и возможное в
принципе экранирование взаимодействия двух локализованных электронов друг
с другом. Действительно, размеры области локализации могут оказаться
довольно большими.
Как мы увидим, явный вид потенциальной энергии экранированного
взаимодействия двух электронов Vc оказывается не очень существенным. По
этой причине мы ограничимся простейшим выражением:
^<r'-r!)=TT7ihrT"p(--Ulirl1-)- <9-33>
Здесь е - статическая диэлектрическая проницаемость материала, которая
наблюдалась бы в отсутствие свободных носителей заряда*), ri и г2 -
радиус-векторы двух рассматриваемых электронов, Го -радиус экранирования.
Явное выражение для него зависит от механизма экранирования. Для
дальнейшего, однако, оно не очень существенно: достаточно рассматривать
г0 просто как феноменологический параметр.
Таким образом, мы приходим к двухэлектронной задаче с гамильтонианом
Н = Ti Т2 -f- Ус (fi - Г2) + V (ri) -f- U (Гг). (9.34)
*) Строго говоря, отождествление е со статической диэлектрической
проницаемостью полностью оправдано лишь в случае гомеополярного
материала. При наличии заметной доли ионной связи так можно поступать,
лишь рассматривая самые мелкие уровни. Именно, энергия ионизации Е,
должна удовлетворять условию Eilh <0о, где со а - характерная частота
поляризацион ных колебаний ионов.
108 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Исследуя спектр соответствующего уравнения Шредингера, мы можем
ограничиться приближением Хартри. Действительно, учет корреляционных
эффектов может лишь ослабить эффект кулоновского отталкивания (то же
относится и к обменной поправке, проявляющейся лишь в случае параллельных
электронных спинов). Следовательно, возможный вывод о конечной
вероятности возникновения "двухэлектронных" уровней, полученный в
приближении Хартри, окажется тем более справедливым при более точном
расчете. Дальнейшие рассуждения протекают так же, как и в одноэлектронном
