Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
существует, то величина у должна оказаться вещественной)*). По
определению (см. конец § 1) при достаточно большом объеме системы ?2
величина 7 не зависит от ?2, т. е., в частности,
(yQ1/3)_1-> 0 при Q->оо. (9.4)
Положим
г|) = е-?'•/(г, 0, ф), (9.5)
где /-новая неизвестная функция. Подставляя (9.5) в (9.3'),
получаем
_ М fj.AV.fi___________±Я__
2m I уг/ т V уг ) у дг
-Ir + е, ,p)f = ?f. (9.6)
Как и в § 2, обозначим через /0 характерный линейный размер области
локализации в смысле, указанном в § 2. По определению /о удовлетворяет
неравенству
у/о>1. (9.7)
При г - /0 уравнение (9.6) можно переписать в виде
+ (9.8)
Здесь через А [/] обозначено выражение, конечное при у/0->оо;
явный вид его ясен из сопоставления (9.8) и (9.6).
*) Естественно, у зависит от энергии рассматриваемого состояния.
Подробнее см. ниже, § 11.
§ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ Ю1
Разложим f в ряд по шаровым функциям Yf (0, ф):
/(/о, 0, ф)=1 Z Y? (0. ф) С1т (/о), (9.9)
0 т~-1
и будем в дальнейшем для краткости обозначать совокупность чисел (/, т)
одним индексом п (так, Y? = и т. д.). Подставляя (9.9) в (9.8), получим
систему уравнений для коэффициентов Cim Е= Сп\
(i + §f>"-w=s?2>""'Wc"'' (9|0)
п'
Здесь через А обозначен результат подстановки (9.9) в выражение для А,
величины Unn' суть элементы эрмитовой матрицы
2я я
Unn' (/о) = ^ dy ^ sin 0 dQYn' (0, ф) U (/0, 0, ф) Yn (0, ф). (9.11)
О о
Коэффициенты сп можно нормировать условием ZU"I2- 1-
П
Умножая равенство (9.10) на с* и суммируя результат по п, получаем, с
учетом (9.11),
1 + w " W {2 ^ ('.) + W } • <9-12)
где С - величина, остающаяся ограниченной при yl0^-0. Обо-значим через
v(/o) низшее собственное значение матрицы Unn'Vo)- Очевидно,
2, ",(!,) с,, >*(у. (9.13)
fit п
Следовательно,
^-+E>v(" + ^. (9.14)
Знак равенства реализуется, если коэффициенты сп образуют собственный
вектор матрицы U пп' (/о), принадлежащий низшему собственному значению
v(/o). При y/0->-oo вторым слагаемым в правой части (9.14) можно
пренебречь. Удобнее, однако, сохранить пока конечные значения yl0, ибо
понимаемый буквально предел матрицы (9.11) при /0->- оо может и не
существовать: в любой точке пространства случайный потенциал может иметь
существенную особенность, с подавляющей вероятностью оставаясь при этом
конечным в силу (7.53а) - (7.53в). Иначе говоря, с подавляющей
вероятностью случайный потенциал осциллирует
102 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
(на бесконечности). Предельный переход yl0-*-oo мы совершим лишь в
дальнейшем, при усреднении по случайному полю, когда это действительно
возможно.
Важно заметить также, что условие yl0-*-oo еще не означает перехода к
рассмотрению всего образца. Согласно § 2, область с линейными размерами
порядка 1о, будучи велика по сравнению с областью локализации электрона,
не обязательно должна быть макроскопически велика. Мы будем иметь в виду
условие /'oQ_1 < 1. Иначе говоря, в дальнейшем будут выполнены два
предельных перехода:
yl0->oo, fi/o"3-> оо. (9.15)
Первый из них мы будем называть "предельным переходом в смысле (9.7)". Он
нужен для установления однозначной связи между у и v(/0). Второй
предельный переход - термодинамический. Он подразумевается при вычислении
средних по случайному полю.
Поскольку радиус локализации v_I. очевидно, зависит от энергии ионизации,
возрастая с ее уменьшением, указанное выше разграничение первой и второй
шкал длины может оказаться несостоятельным, коль скоро речь идет о крайне
мелких уровнях, "поджатых" к границе зоны проводимости (или, для дырок, к
границе валентной зоны). В задаче, нас сейчас интересующей, это
несущественно, ибо между "очень малой" и "слишком большой" энергией
ионизации (когда уже нельзя пользоваться методом эффективной массы)
имеется достаточно широкий интервал. Однако сам вопрос о зависимости
величины у-1 от энергии ионизации заслуживает внимания. Мы вернемся к
нему в § 11.
Согласно (9.14) (со знаком равенства) значения у могут быть
вещественными, лишь если *)
v (/") - Е + С/у to > 0. (9.16)
С другой стороны, если какое-нибудь собственное значение уравнения (9.3)
удовлетворяет неравенству (9.16), то ему принадлежит собственная функция,
локализованная в пространстве. Иначе говоря, такое собственное значение
относится к дискретному спектру. При этом, в силу отмеченного выше
вырождения по центрам локализации, число дискретных уровней, если они
вообще существуют, будет пропорционально объему системы S3. Позднее (§
10) мы явно убедимся в этом.
Итак, вопрос о вероятности существования дискретных флук-туационных
уровней сводится к вопросу о вероятности реализа-
*) В случае центрального поля, обращающегося в нуль на бесконечности,
неравенство (9.16) принимает хорошо известный вид: Е ¦< 0.
§ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
/03
ции неравенства (9.16) в данном случайном поле. Эта вероятность Qb дается
выражением (сравните с (7.49))
Qb = <0 [v (/0) - Е + С/уЦ), (9.17)
где 0 есть ступенчатая функция.
