Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
-^R36Nd(Nriy/2
По смыслу задачи zfi2/tne2R<Cl. Принимая во внимание неравенства (8.26),
видим, что условие (8.30) заведомо выполняется уже при Nr\~ 1.
Желая использовать этот иллюстративный пример для рассмотрения ситуации в
реальных материалах, мы должны были бы принять во внимание и возможное
присутствие акцепторов и других заряженных дефектов, а также выполнить
усреднение по значениям б Na и R и по форме рассматриваемых объемов, а
может быть, и принять во внимание корреляцию в относительном их
расположении. Видимо, обилие неизбежно возникающих здесь предположений
модельного характера делает такой расчет мало оправданным. Проще
рассматривать величины \pi и г|з2 (или их аналоги в случае негауссова
поля) как феноменологические параметры.
В рассмотренном выше иллюстративном примере, как и в более сложных
случаях, характерных, например, для радиа-ционно поврежденных материалов,
гладкое случайное поле возникало "изначально". В дальнейшем (§ 12) мы
увидим, однако, что и в системах с отнюдь не гладкими случайными полями
также возникает плавное искривление зон. Его можно рассматривать как
гладкое случайное поле "вторичного" характера.
§ 9*. Теорема существования дискретных флуктуационных уровней в
запрещенной зоне неупорядоченного полупроводника
В соответствии со сказанным в § 1, нам надлежит оценить вероятность Qb
того, что в данном случайном поле возникают дискретные уровни. Они
отвечают локализованным (в смысле, указанном в §§ 1, 2) состояниям
носителей заряда. Для этой цели удобно написать сначала условие
возникновения таких уровней при заданной форме потенциальной энергии
электрона t/(r). Интересующая нас вероятность представляет собой не что
иное, как вероятность реализации указанного условия. Вычислить ее
нелегко; для наших целей, однако, достаточно найти нижнюю ее границу.
§ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
99
Будем рассматривать макроскопически однородную систему. Тогда, в
соответствии с §§ 1, 7, задача сводится к исследованию системы электронов
с гамильтонианом
Я = Яо+2>(гг), (9.1)
i
где индекс i нумерует электроны, U(г,)-потенциальная энергия j-го
электрона в случайном поле, нормированная условием
(7.4), Н0 - гамильтониан системы электронов, движущихся во
"вспомогательном" (в смысле § 8) периодическом поле и взаимодействующих
друг с другом. Периодическое поле исключим с помощью метода эффективной
массы, причем для простоты будем считать соответствующий закон дисперсии
параболическим и изотропным:
Ер = р212т. (9.2)
Энергия Ер отсчитывается здесь от края зоны проводимости; перенос
результатов на случай дырочных локальных уровней очевиден*). Заметим, что
использование метода эффективной массы в принятом здесь варианте
накладывает хорошо известные ограничения на величину энергии ионизации
флуктуацион-ных уровней: эта энергия должна быть не слишком велика.
Рассмотрим сначала задачу об одноэлектронных уровнях, соответствующих
локализации одного электрона в данной потенциальной яме (В. Л. Бонч-
Бруевич, 1971). В соответствии со сказанным в § 1, мы приходим при этом к
"одноэлектронному" (в указанном там смысле) уравнению Шредингера
7Sjj + Uip - Е-ф. (9.3)
Здесь Т - -(h2/2m)V2 есть оператор кинетической энергии.
Уравнение (9.3) в принципе может иметь как дискретный, так и непрерывный
спектр. Первому из них соответствуют интересующие нас локализованные
состояния. По определению макроскопически однородной системы свойства ее
инвариантны относительно одновременного сдвига всех потенциальных ям **).
Иначе говоря, если локализованные состояния вообще образуются, то имеет
место вырождение по координатам центра ло-
*) Во избежание недоразумений подчеркнем еще раз, что эффективная масса m
представляет собой в данном случае вспомогательную величину. То же
относится и к аналогичным ей параметрам, которые могли бы входить в закон
дисперсии более сложного вида: они входят в ответ как вспомогательные
параметры, подлежащие определению из опыта (как в теории поляронов [18]).
**) Мы отвлекаемся при этом от возможных деталей атомной структуры.
Строго говоря, в применении, например, к кристаллам надо было бы говорить
не о любой точке, а о любой элементарной ячейке. Суть дальнейших
рассуждений, однако, от этого не меняется.
100 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
кализации (§ 1.6). Поскольку указанное вырождение в рассматриваемой
задаче не снимается, мы можем просто выбрать значения этих координат по
произволу. Для определенности поместим центр локализации в начало
координат; тем самым приобретают смысл и понятия "достаточно большое
расстояние", "на бесконечности" и т. п.
Введем в уравнении (9.3) сферические координаты г, 0, ф, обозначив через
ф лапласиан по угловым переменным. (Направление полярной оси здесь и в
дальнейшем в этой главе может быть выбрано произвольно.) Получим
- -S [h ъг {'* 4г) + 7 ^ ,*] + и <г- "¦ <9-3'>
Обозначим через у-1 радиус локализации электрона, занимающего
предполагаемый дискретный уровень (если последний действительно
