Сборник задач по физике полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
М f j j
пературах (Т EJk) о &ох = ей—^ ^ . Примерный ход
проводимости показан на рис. 17.
Искомое отношение равно
a (1000 К)/а (300 К) ~ 0,5.
14. Преобразуем формулу для концентрации электронов:
2
п =
J / (Е) dk = ± J А’/ (Я) dA = J р (Я) / (?) d?,
(2я)
о о
где р(Е) = (к2/л2) dk/dE— шотпостъ состояний. Выбирая за начало отсчета край зоны проводимости и выражая кг
G2
через Е, находим откуда
Таким образом (см. (П.1)),
п = ^[ф1/2(л) + ^Фз/2(Л)
15. Согласно формуле (1.11а), для вычисления плотности состояний надо найти якобиан Z (Е, 0, ср). Вводя сферические координаты в k-пространстве, мы получаем
Z(E3Q, Ф) = Г-1§-| sin 0. (1)
Обозначив временно
2fi2Eg/m(0) =аг, (2)
получим, согласно (1.3ж),
к = (2/а)[(Е -Ес)2 + Eg(E - Ес)]1'*. (3)
Формулы (1) и (3) дают Z = (i/a*)[(E-Ee)2 +
+ Ee(E-~Ec)}w2[2{E-Ec) + Eg]smQ. (4)
Удобно принять край зоны проводимости за начало отсчета энергии (Ес — 0). Тогда, подставляя выражение (4) в правую часть (1.11а), находим, с учетом формулы (2),
»<е>-!^е“(,+ ?)(1 + Ч)- (5)
При Eg » Е и т (0) = т0 отсюда вновь получается формула (1.116). С другой стороны, при E>ES выражение (5)
принимает вид
р„ (Е) = [2т (0))*/2Е*/лЧ*е1'2. (6)
Вспоминая, что т(0) — Зп2Ее/41Рг, где ?? — параметр, фигурирующий в формуле (1.3е), находим окончательно (при Е » Es)
рп(Е) = (3/2)3/2Е2/пг&\ (Г/)
63
Формулы (1J— (6) пе связапы с какими-либо предположениями о степени вырождения электронного газа. От этих предположений зависит лишь связь концентрации электронов с положением уровня Ферми. Обратимся сначала к невырожденному случаю.
Пользуясь формулами (1.13) и (5), получаем для модели Кейна:
NB = {[2т (0)]3/2 X
ОО
X J Vx exp (— х) (х + EglkT)Vi (x + Eg/2kT) dx. (7)
о
В общем случае значения интеграла в правой части (7) приходится находить численно. В предельном случае Eg>kT получается прежний результат (1.6) (при тп=*т(0)). С другой стороны, при Et<kT мы имеем
Nc = 2 [2m f0)]3/3 (kT)3!n2Ti3E3g/2t (8)
Сравнивая это выражение с формулой (1.9), находим аффективную массу плотности состояний в зоне проводимости с законом дисперсии (1.3ж) при Es<kT:
4 kT /{Y. 3 %2kT
<9>
В условиях полного вырождения концентрации электронов дается формулой (по-прежнему при Ес — 0)
F
Г 1 Г2m (0)13/2„3/2/4 , F у/г
n-)„AE)dE-m-jr F ,+ . (10)
о 6
При Eg > F и т(0)—тп отсюда получается результат, справедливый для квадратичного изотропного закона дисперсии:
Злл ^ % }
16. Используя результат предыдущей задачи, находим min — т(0) (1 -1- F/Ee),
Выражая F через концентрацию, приходим к следующему выражению для т.]п:
т (0)
mJn =
, + l/ i+7r|rE7(3'‘!'!)'
64
Эффективная масса т* для закона дисперсии (1.3ж) равна
Для квадратичного закона дисперсии mdn = т* = т(0).
17. Из условия нейтральности п = р + Nf при р < п получаем
Nc exp ri = Nd {1 + ^exp ri • exp [(^ — Ed)/kT]}~1,
Решение полученного уравнения, квадратичного относительно exp г), дает
exp л = (2gd)exp [— (Ес — Ed)/kT] X
X {[1 + 4 (Ndgi/Nc) exp ((Ec - Ed) /kT) ]*'* - 1},
При T0 имеем N^< Ndexp[{Et — Ed)/kT] и F = (Ec + Ed)/2 + (kT/2)ln [Ndgd/Nc (T) ].
При более высоких температурах, когда N0» » Nd exp [ (E0 — Ed) /kT], получаем
Таким образом, при повышении температуры уровень Ферми сначала возрастает от
Найденные массы связаны соотношением mdn = (ffi(0) + т*)/2.
откуда
F = Ed + kT In {^ga}-1 [{1 + 4 (Ndgi/Nc) X
X ех?[{Ес-Ел)1кТ\}г1*-\]\,
F — E0 — kT In {NJNd).
(Ec + Ed)/2, а затем, пройдя ? через максимум, начинает почти линейно убывать с тем- ?¦ пературои до тех пор, пока ± концентрация дырок не станет заметной. Примерный ход уровня Ферми показан на рис. 18.
18. Из решения предыду- рис щей задачи видно, что уро- си^ вень Ферми совпадает с м
Рис. 18. Температурная зависимость уровня Ферми примесного полупроводника.
5 В, JI, Бонч-Бруевич и др..
65
уровнем примеси, когда
(l/2g„) {(1 + HgtNJN^Tt)) exp [ (Ес - Ed) IkT])1/2 - 1) = 1
(см. рис. 18). Эго происходит при температуре, определяемой уравнением
