Сборник задач по физике полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
77 К получаем ЛГдь/га»0гЗ и при 4,2 К получаем
ЛгУ««4,6-1012,
38. Как было показано в задаче 34, в указанных условиях уровень Ферми смещается от одного уровня примеси к другому, и
o2/oi « щ/щ = ехр[(?’а — Ei)/kT] = exp(U/kT). Отсюда
U = kT\n (o2/oi) * 0,3 эВ.
39. Согласно задаче 34 при Nsb < NCu уровень Ферми
близок к Еи a Arcu<C-/Vcu, поскольку Ег — Et> kT. Таким образом, и, полагая Еъ — Е% =
76
?„(300 К)—0,32 эВ — 0,26 эВ, получаем
ДГ= — ^2
< Си
N2
ivSb
8\
Си
¦N,
Sb
exp
6,8-10й см'
При N си < < 2iVCu уровень Ферми близок к Е2, и
Ncm » Ncu, a iVcu= iVgi - Ncu = 2 • 101в см'3.
40. Для того, чтобы обобщить рассмотрение задач 34, 35 на случай полупроводника с четырьмя примесными уровнями, нужно записать условие нейтральности для рассматриваемой системы:
Ni + 2Nz + 3iVs = iVAu + 7Vsb — NB. (1)'
Удобно ввести параметр, характеризующий концентрацию мелких компенсирующих примесей:
v =(iVAU + NSb — Nb)/Nau.
Положение уровня Ферми определяется условием (1) с
Рис. 23. Изменение положения уровня Ферми при низких температурах в германии с золотом, легированном мелкими примесями (схематически).
учетом соотношений (1.29) . Подобно задаче 34 получаем, что концентрационная зависимость уровня Ферми при низких температурах имеет вид, схематически показанный на рис. 23.
41. В рассматриваемых условиях (2NAn<Nsb<3NAa) при записи условия нейтральности достаточно учитывать лишь верхний уровень золота:
N au ~Ь п =“= N— 2Nди-
77
Введя обозначения
(7Vsb - 2NAU)/NAU = 1 -К, х — exp [(F - Et)fkT\ n0 = A^c exp [— (Ec — E3)/kT],
получим
‘ gsx/ (gi + g>x)+-n<,x/NM = 1 -K.
Отсюда
x = (2g„n0/NAU)-{{-gaK - g2nJNAV, +
+ [(gsK + g2nJNAay + Ag,g3(l-K)na/NAa}'/2}. (1)
Имеем n„ * 4,9 • 1017 cm-3, t. e. na » JVAU и x = = (1 — K)NAu/n0, а концентрация равна
n = nax — (1 — K) NAa = Nsb — 2NAa = 2 • 1015 cm“3.
Таким образом, в рассматриваемых условиях верхний уровень золота почти полностью ионизован.
42. Поскольку NAu< Nsb<2NAU, условие нейтральности имеет _ вид Nju + п = -Nqь — NAu. Соответственно положение уровня Ферми определяется выражением (1) предыдущей задачи, в котором
1 _ к = (Na - NAU)/NAa, п0 = Nc exp [- (Е„ - Et)/kT],
х = С'хр [(F— Ёг)/кТ],
а gz, g> заменены на gu g2. Имеем п0» 101! см-3, n0/NAU » 0,2, и, полагая = g2 = 1, находим х * 0,5. Таким образом, искомая концентрация равна 5 • 10й см-3.
43. Поскольку при рассматриваемой низкой темпера-
туре п0 < NAa, положение уровня Ферми нетрудно найти из общего выражения для х, полученного в задачах 41,
42. Имеем ----- - .
F -Ех + kTln [gl (Nib — .Va,)/^(2.Vau - Nsb)]. Отсюда
n = [gi (Nsb — NAa)/g2(^VAU — NSb)] Nc exp [— (E„ —
-E2)/kT] * 10- 223.
Разумеется, подобная концентрация ненаблюдаема. Физически гораздо большая (хотя и достаточно малая) концентрация электронов в зоне проводимости даже при очень низкий температурах создается за счет неустранимой подсветки (см. задачу 59).
44. Условие нейтральности имеет вид
Ni+ 2Nt *= \N,
78
где Nt и Nz даются выражениями, приведенными в решении задачи 32, в которых U = —U0, a v — число электронов на дефект,
v = (N + Nd — Na)/N.
Введя обозначение
х = exp [ (F — Et)/kT],
где Еj — энергия уровня дефекта, отвечающего присоединению первого электрона, мы найдем
(2 — v)g2 exp [UJkT] хг +'(1 — v) ga — g0v = 0. Отсюда
x = [2 (2 — v) g2\~l {— (1 — v) gx + [(1 — v)2gi +
+ 4v (2 - v) g0g2 exp (UJkT) ]1/2j exp (- U JkT). В условиях, когда U0>kT, получаем
Un
2 kT
F = Ei — Uj2 - (kT/2) In [g2 (2v"‘ - 1) /*»].
Уровень Ферми слабо (логарифмически) зависит от концентрации мелких примесей во всей области, где дефекты
Рис. 24. Зависимость уровня Ферми от концентрации мелких примесей в полупроводнике, содержащем дефекты с отрицательной энергией корреляции (схематически).
рассматриваемого типа играют основную роль (см. рис. 24).
45. Используя результат предыдущей задачи, находим
F (v2) - F (vx) = - (kT/2) In [(2v7l - 1)/(2уГ1 - l)].
В ' рассматриваемых условиях Vi = 4/3, v2 == 2/3 и /’(2/3) —/’(4/3) ='—1,8 • 10'2 эВ.
79
Температурное смещение уровня Ферми определяется выражением
F(2,1)-F(2,1) = (Jfe/2>(2,1- r.Jln^v-1 - 1).
Отсюда при v = 4/3, g0 = g2 = 1 имеем
F(300 K)-F(100 К) == 6 • 10_3 эВ.
Глава 2
РЕКОМБИНАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ‘ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
