Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Второе слагаемое в (5.12) описывает энергию спинового магнитного момента в магнитном поле. Она может принимать два значения соответственно двум возможным ориентациям спина.
Наконец, третье слагаемое отвечает энергии движения электрона в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Видим, что эта энергия оказывается квантованной. При заданных значениях проекции спина на ось Z и волнового числа &3 возможные
значения энергии Е± образуют ряд эквидистантных дискретных уровней (рис. 4.6). Расстояние между ними равно ftac. Этот результат был получен в 1930 г. Л. Д. Ландау; соответственно говорят об уровнях Ландау и о квантовании Ландау. При учете движения электрона вдоль оси Z уровни Ландау размываются в одномерные «подзоны». Каждая из них соответствует определенному значению квантового числа п и той или иной проекции спина на направление магнитного поля. Нижняя из этих подзон отвечает значению п = 0, а нижний край ее — дно зоны проводимости в магнитном поле — дается выражением
1
Рис. 4.6. Уровни Ландау при одной определенной ^ориентации спина (слагаемое в (5.12) опущено).
(5.13)
При классической трактовке орбитального движения электрона последнее слагаемое в (5.13) не появилось бы. Учет квантования приводит к повышению границы зоны на величину 1/2Йсос — нулевую энергию осциллятора.
Заметим, что энергия электрона, движущегося в магнитном поле, не зависит от волнового числа /г2. Последнее входит только в выражение для координаты х'. Согласно (5.6) точка х0 есть «центр
152 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
колебаний». В силу произвольности числа k2 при одном и том же значении энергии электрона центр колебаний может находиться где угодно в образце: имеет место вырождение по координате центра осциллятора. Этого и следовало ожидать: поскольку магнитная индукция не зависит от координат, в образце нет физически выделенных точек.
Вычислим теперь степень вырождения каждого уровня в подзоне.Ландау, т. е. число квантовых состояний, отвечающих заданному значению энергии Е и заданному значению k3. Для этой цели рассмотрим образец конечного объема V. Как и в отсутствие магнитного поля, форма образца не играет роли, коль скоро размеры его достаточно велики. Удобно взять образец в виде куба со стороной L. По направлениям Y \\ Z подчиним волновую функцию условиям периодичности. Тогда, подобно (III.3.10),
где пу и пг — положительные или отрицательные целые числа или нули.
Поскольку функция (5.10) локализована в области порядка у около точки х0, граничные условия по оси х вообще несущественны, коль скоро длина L значительно превышает магнитную длину у. Достаточно ограничить возможные значения х0 условием
Таким образом, при заданных энергии и числе пг квантовое число пу может принимать
g = (5.18)
значений. Это и есть искомая кратность вырождения.
Формулу (5.12) можно обобщить на случай эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей. Для этой цеЛи надо лишь, в соответствии с (4.8), заменить оператор кинетической энергии в (5.1) более сложным выражением. Пусть, например, изоэнергетические поверхности представляют собой эллипсоиды вращения (III.8.5). Тогда энергия носителя заряда по-прежнему дается формулой
(5.12), но частота юс теперь оказывается зависящей от угла между, осью магнитного поля и главной осью эллипсоида энергии: она.
(5.14)
(5.15)
Согласно (5.6), (5.8) и (5.14) отсюда следует, что
у тасЬ Ilk у 2~ mco..L
(5.16)
и
С пу «с y та,
(5.17)
СПЕКТР НОСИТЕЛЯ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
153
дается формулой (5.8), в которую вместо т надо подставить величину тс из (3.5) или (3.5').
Совпадение результатов квантовсмеханического и классического расчетов частоты сос здесь не должно вызывать удивления. Действительно, классическое движение заряженной частицы массы т в однородном магнитном поле складывается из свободного перемещения вдоль оси поля и вращения в плоскости, перпендикулярной 53. Последнее можно представить как сумму двух гармонических колебаний с частотой сос. Тот факт, что при квантовом рассмотрении мы получили лишь один осциллятор, не'имеет значения: при другом выборе вектор-потенциала мы могли бы, вместо
(5.12), получить выражение, формально содержащее сумму энергий двух гармонических осцилляторов; при этом значения Е фактически не изменились бы.
Классическая трактовка задачи о поведении электрона в магнитном поле страдает, однако, двумя недостатками.
Во-первых, она логически непоследовательна: классическое движение заряда по круговой орбите не может быть устойчивым из-за неизбежного — в рамках классической механики — излучения электромагнитных волн ускоренно движущимся зарядом.
