Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
dvu Ле
ЧГ^-т(3-1)
dv, 39е , ч
-df = -^7(ay^-a^-
138 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАДЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
Здесь ах, ау, az — косинусы углов между вектором S3 и осями
координат. Это есть система линейных однородных уравнений. Будем искать ее решение в виде гармонических колебаний:
vx = v1e~itat, vy = v2e-iaf, v? = (3.2)
где vlt v2, v3 — постоянные коэффициенты (амплитуды колебаний),
а со — частота. Подставляя (3.2) в уравнения (3.1),' получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд vu у2, у3:
, <?9е qШ п
“ ~ ~т^с а'^ = °’
<83е . . <3Se п
-------аЛ — i(0Vo -\-------axv3 = 0.
ШуС z 1 i ' тус х л ’
о5$е <?9е . п
Условие разрешимости этой системы состоит в обращении в нуль ее детерминанта. Этим определяются возможные значения частоты колебаний ш:
со = 0, (3.3а)
т. е,
где
аУ ®н а1 \
^----<L_ _|-----(3.36)
тутг 1 тгтх 1 тхту /’ 4 '
/О /|\
сос = —, (3.4)
1 / аА а?п а1 \!/2
----= ——+ —— Н------------------— • (3-5)
тс \ тут2 1 mztnx 1 тхту) v >
Величину тс иногда называют циклотронной эффективной массой.
При тх = ту — тг = т выражение (3.5) переходит в формулу
(1.3.2). Оно упрощается также, если изоэнергетическая поверхность представляет собой эллипсоид вращения (III.8.5). Действительно, обозначим через ср угол между направлением магнитной индукции S3 и осью вращения эллипсоида (осью Z). Тогда
a5 = cos2q), aj + <4 = sin2cp, тг — т\\, mx = my = mj_ и выражение (3.5) принимает вид
1 = ( cos2 Ф , Sin2 ф у/, тс [ “Г m±mj ' ' ‘ >
Корень (3.3а) соответствует движению с постоянной скоростью — равномерному движению вдоль направления поля. Два корня (3.36) описывают гармонические колебания, в совокупности своей сводящиеся к равномерному вращению электрона в плоскости, перпен-
§ 3] НОСИТЕЛИ В ПОСТОЯННОМ И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 139
дикулярной магнитному полю. Угловая скорость этого вращения равна сос.
Можно обобщить формулу (3.5) и на случай невырожденных зон при непараболическом законе дисперсии. Для этой цели удобно воспользоваться уравнением (1.9), совмещая ось Z с направлением магнитного поля:
dp
т. е.
л—5-I.xSi,
dpx е dpu е dpz
иг = -т*°у = ^Г=°- <3-6>
Поскольку сила Лоренца не совершает работы, видим, что в рассматриваемой задаче имеются два интеграла движения:
pz = const, Е (р) = ? = const. (3.7)
Эти уравнения описывают траекторию электрона в пространстве квазиимпульсов. Будем считать ее замкнутой и несамопересекающейся. Согласно (III.8.3) в случае параболического закона дисперсии это есть эллипс
Отклонения от параболичности приводят к деформации эллипса; когда они становятся очень большими, траектория может (но не обязана) стать и незамкнутой. Исследование показывает, однако, что это возможно лишь в области энергий, достаточно далеких от дна зоны.
Обозначим через dp | элемент дуги траектории и будем рассматривать время t как параметр, определяющий положение точки на ней. Тогда
Введем, далее, нормальную к кривой (3.7) составляющую вектора v: =
= {vx, vyj. Абсолютная величина ее есть vL=V vx v'y Пользуясь равенством
(3.8), можем переписать уравнения (3.6) в виде
dp, е
L- Р-S')
Отсюда
f__ f dp±
е& J v L *
Период обращения электрона по орбите 2я/шс получится, если взять здесь интеграл вдоль всей траектории (3.7):
2л с (• dp,
----=-------— ф —i. (3.9)
(ос е<83 J V?
Фигурирующий в (3.9) интеграл можно выразить через площадь S (Е, рг), ограниченную кривой (3.7). Действительно,
S(E, pz) — ^dpxdpy,
