Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь е и ai суть, соответственно, вещественные части диэлектрической проницаемости и электропроводности образца на частоте (мы ограничиваемся для простоты кубическими кри-
сталлами, когда величины е и ai суть скаляры). Может случиться, что время хм значительно превосходит характерное время, фигурирующее в той или иной задаче (так, при изучении движения свободных носителей заряда это есть время свободного пробега). Тогда флуктуационное поле можно рассматривать как статическое, и мы приходим к системе, неупорядоченной в указанном выше смысле. Заметим, что — по самой сути дела — вид потенциальной энергии носителя заряда во флук-туационном поле задается только статистическим путем.
8) Кристаллы, в которых происходит усиление низкочастотных звуковых волн с беспорядочными амплитудами и фазами. Нарушения дальнего порядка здесь обусловлены взаимодействием носителей заряда со звуком. В гомеополярных кристаллах, равно как и в ряде не вполне полярных соединений (типа AIUBV и др.), энергия взаимодействия электронов с фононами в условиях, близких к термодинамическому равновесию, в среднем
12
ГЛ. Т. ВВЕДЕНИЕ
невелика [1]. Хорошо известно, однако [2], что при пропускании через образец достаточно сильного электрического тока может иметь место усиление звука электронным потоком. Это относится не только к звуковому сигналу, введенному извне, но и к «шуму» — набору звуковых волн с беспорядочными амплитудами и фазами, — существующему во всяком образце даже в условиях равновесия. Коэффициент усиления оказывается различным для волн различной частоты; при заданной дрейфовой скорости электронов он достигает максимума на частоте
®max ^ s/rQ, (1-3)
где s — скорость звука, г0 = (еГ/4лпе2)1/2 — дебаевский радиус, п — концентрация носителей заряда, образующих невырожденный газ. В дальнейшем нас будут интересовать условия, когда частота Ютах и соответствующее волновое число qmax удовлетворяют неравенствам
где т и I суть время и длина свободного пробега носителей заряда соответственно.
Тогда ширина максимума оказывается порядка самой частоты (Ошах, т. е. (с учетом (1.4)) максимум следует рассматривать как довольно острый. В указанных условиях электроны эффективно взаимодействуют лишь со звуковыми колебаниями, волновые числа которых лежат в пределах
<7max-^-«7«7max + ^-. (1.5)
где Д<7~ютах/5.
В силу (1.4) энергию этого взаимодействия можно рассматривать как потенциальную энергию носителей заряда в классическом внешнем поле, зависящем от координат г и времени t:
Щг, /) = ? cq cos (qr — о/ + фч). (1.6)
Здесь амплитуды cq и фазы tpq суть случайные величины.
По определению / = итт, где vT — тепловая скорость носителя заряда. Соответственно второе из условий (1.4) можно переписать в виде
Обычно vT s. По этой причине в ряде задач можно пренебречь слагаемым соt в аргументе косинуса в формуле (1.6), сохраняя вместе с тем слагаемое qr. При этом функция U перестает зависеть от времени t, и мы вновь приходим к данному выше опреде-
§ Т. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ СИСТЕМЫ ПРИМЕРЫ t8
лению неупорядоченной системы. Вновь, как и в предыдущих примерах, функцию U(г) можно характеризовать только статистическим путем — на сей раз из-за случайного характера амплитуд cq и фаз <pq.
Таким образом, в ряде физически интересных неупорядоченных систем отклонения силового поля от периодического оказываются различными — и притом случайно различными — в разных точках образца: потенциальная энергия электронов содержит слагаемое, хаотически изменяющееся в пространстве. Иначе говоря, она представляет собой случайную функцию координат. Соответственно мы приходим к представлению о силовом поле, характеристики которого можно задавать только статистически. Такое поле называется случайным. Наличие его составляет едва ли не самую характерную черту многих неупорядоченных систем.
Подчеркнем, однако, что случайные вариации в расположении атомов вещества не обязательно влекут за собой появление заметного случайного слагаемого в потенциальной энергии носителя заряда. Суть дела проще всего понять на примере материала, содержащего некоторые хаотически расположенные в пространстве точечные дефекты структуры (в частности, это могут быть и атомы примеси) [3]. Потенциальную энергию электрона V в поле, созданном такими дефектами, можно записать в виде
V (г) = Z v (г — R,).
i
Здесь и (г — Rj) есть потенциальная энергия электрона в поле отдельного точечного дефекта, расположенного в точке Rr, индекс i нумерует дефекты. В силу случайности координат дефектов R; величина V(r) есть формально случайная функция. На поведении электронов это, однако, не всегда сказывается. В самом деле, обозначим концентрацию дефектов через tit, а раднус действия связанных с ними сил — через г0 (в случае заряженных примесей это есть обычный радиус экранирования). Пусть, далее, характерная длина волны де Бройля свободных электронов (или других квазичастиц) есть %, а радиус локализации электрона, занимающего дискретный примесный уровень, — у~1. Как видно из рис. 1, ситуация оказывается существенно разной в зависимости от соотношения между наибольшей из величин X, у-1 и г0 и средним расстоянием между дефектами п-из_ Именно,
