Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Обратно. Пусть дан /-атом, отвечающий атому (Р, К). Рассмотрим замкнутую поверхность Р, получающуюся заклейкой дисками граничных окружностей /-атома. В результате мы получаем некоторое клеточное разбиение поверхности Р. Чтобы обеспечить указанную выше взаимную однозначность, нам придется по нему построить другое клеточное разбиение. Для этого отметим центры отрицательных двумерных дисков и соединим их ребрами через вершины /-атома, как показано на рис. 2.37. При этом, через каждую вершину /-атома мы проводим ровно один такой отрезок. Ясно, что эта операция обратна описанной выше.
Предложение доказано. ¦
Каждому атому отвечают, как мы знаем, два /-атома. По каждому из них можно построить свое клеточное разбиение поверхности Р. Легко видеть, что они окажутся двойственными друг другу. Дело в том, что положительные диски, как и кольца, заменятся на отрицательные.
В определенном смысле /-атом можно рассматривать как полудвойственный объект для данного клеточного разбиения. Стартуя с клеточного разбиения, мы строим /-атом, а затем по нему — клеточное разбиение, двойственное исходному. Грубо говоря, /-атом находится на полпути от клеточного разбиения к ему двойственному. Потому его можно назвать полудвойственным объектом.
В топологии и геометрии есть довольно много задач, сводящихся к классификации клеточных разбиений тех или иных поверхностей. Предыдущее утверждение показывает, что на самом деле все такие задачи сводятся к описанию /-атомов. В качестве яркого примера ниже мы дадим новую классификацию потоков Морса, а потом и потоков Морса-Смейла, на языке /-атомов.
2.7.8. Таблица атомов малой сложности
Удобно обозначать каждый атом некоторой буквой, из которой вверх и вниз выходит некоторое количество отрезков, которые мы назовем концами атома. Каждый конец атома взаимно-однозначно отвечает некоторой граничной окружности поверхности Р. Важно подчеркнуть, что, вообще говоря, концы атома неравноправны, поскольку граничные окружности поверхности Р неравноправны в том смысле, что не каждые две из них можно совместить посредством некоторого гомеоморфизма атома, — т. е. поверхности Р с графом К, — на себя. О возможной неравноправности концов атомов мы подробнее расскажем ниже, при обсуждении понятия молекулы.
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
99
В таблице 2.1 перечислены все атомы до сложности 3 включительно как ориентируемые, так и неориентируемые. Здесь же указаны соответствующие им пары /-графов, а также двумерные поверхности Р, получающиеся из атома Р заклейкой дисками его граничных окружностей. Эти поверхности определяют род атома.
Как мы отмечали, каждому атому отвечают два /-атома. Иногда они совпадают, иногда — нет. Совпадают они в том и только в том случае, когда у атома есть дополнительная симметрия, т.е. гомеоморфизм, меняющий местами положительные и отрицательные кольца атома. Такой гомеоморфизм существует, например, для следующих атомов из таблицы 2.1:
С±, С2, d2.
Список неориентируемых атомов в таблице 2.1 составлен В. В. Корнеевым.
В таблице 2.2 перечислены все графы К для ориентированных атомов сложности не превосходящей 5. Для каждого такого графа К указано количество различных ориентируемых атомов, имеющих его в качестве своего спайна (скелета). Это количество атомов написано либо рядом с графом К, либо внутри графа. Другими словами, указано число различных погружений графа К в сферу, т.е. число различных атомов с данным графом К. Напомним, что атом однозначно определяется погружением графа К в сферу.
В таблице 2.2 указано также общее число ориентированных атомов до сложности 5 включительно.
2.7.9. Зеркальные атомы
Определение 2.17. Атом называется зеркальным, если существует диффеоморфизм его на себя, меняющий ориентацию.
Фактически зеркальность атома означает, что он обладает какой-то нетривиальной, т.е. нетождественной, симметрией. Приведем простые примеры.
Предложение 2.2. Все атомы сложности 1, 2, 3 (см. в таблице 2.\) являются зеркальными.
Доказательство.
Из таблицы 2.1 видно, что каждый из перечисленных атомов имеет ось симметрии, т.е. допускает отражение, меняющее ориентацию. ¦
Не все атомы зеркальные. На рис. 2.36(b) см. пример незеркального атома. Два атома, получающиеся друг из друга лишь заменой ориентации, назовем зеркально симметричными. Зеркальный атом совпадает со своим зеркально симметричным.
100
Глава 2
2.8. Группы симметрий ориентированных атомов и универсальное накрывающее дерево
2.8.1. Симметрии /-графов
Каждому атому соответствуют два /-атома, поскольку разбиение его колец на положительные и отрицательные можно делать двумя способами. Эти /-атомы переходят друг в друга, если мы назовем положительные кольца отрицательными, и наоборот. Иногда эти два /-атома могут совпадать, а точнее быть эквивалентными. Изучая симметрии атомов, договоримся считать, что ориентация на поверхности Р2 не фиксирована, хотя фиксировано разбиение колец атома на положительные и отрицательные. При таком соглашении изучение симметрий атома в точности эквивалентно изучению симметрий любого из двух отвечающих ему /-атомов.
