Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
На языке /-инвариантов это означает, что соответствующий /-инвариант можно представить /-графом, все метки которого равны +1. Таким образом, игнорируя метки, которые все равны +1, мы получаем, что множество ориентированных /-атомов — это в точности множество всех /-графов вообще без меток.
Сейчас мы сопоставим каждому /-графу без меток некоторую подгруппу конечного индекса в группе Z * Z2.
Рассмотрим произвольный /-граф Г без меток. Выберем и фиксируем некоторую его вершину х. Рассмотрим все непрерывные пути на графе Г, начинающиеся в вершине х и заканчивающиеся в любой другой вершине графа. При этом путь на графе понимается в комбинаторном смысле, т.е. как задание какой-то последовательности ребер графа.
Каждый такой путь однозначно разбивается на отрезки трех типов.
1) Движение вдоль неориентированного ребра. Такой отрезок обозначим через а.
2) Движение вдоль ориентированного ребра в направлении, задаваемом ориентацией ребра. Такой отрезок обозначим через Ь.
3) Движение вдоль ориентированного ребра в направлении, противоположном ориентации ребра. Такой отрезок обозначим через Ь-1.
В результате каждый путь 7 однозначно определяет некоторое слово, составленное из букв а, Ь, Ь-1.
И наоборот, любое такое слово однозначно определяет некоторый путь 7 на /-графе.
Будем считать два слова эквивалентными, если одно из другого можно получить вычеркивая встречающиеся в слове следующие пары букв: аа, ЬЬ-1, Ь-1Ь, или вставляя такие пары. Множество всех классов эквивалентности слов указанного вида с обычной операцией умножения (= приписывания одно слова к другому) образует группу. Ее единицей является класс эквивалентности пустого слова. Ясно, что эта группа изоморфна свободному произведению Z * Z2, так как она задается двумя образующими а, b и одним соотношением а2 = е.
При указанном соответствии между словами и путями в /-графе с началом в вершине ж, эквивалентным словам соответствуют гомотопные пути с закрепленными концами. Как и наоборот. Таким образом, фиксируя вершину х в графе Г, мы устанавливаем некоторую биекцию между классами гомотопных путей с началом в точке х в /-графе и элементами группы Z * Z2. При этой биекции множеству замкнутых путей на графе Г соответствует некоторая подгруппа Ну группы Z * Z2.
Выбрав в /-графе Г другую вершину у, мы получим некоторую другую подгруппу Ну. Стандартными методами можно показать, что эти две подгруппы Ну
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
95
и Ну сопряжены. В самом деле, в качестве сопрягающего элемента g ? Z*Z2, для которого Щ = gHyg-1, можно взять элемент, соответствующий любому классу гомотопных путей, соединяющих вершину х с вершиной у в графе Г.
Обозначим через Ну класс сопряженных подгрупп группы Z * Z2, соответствующих множествам замкнутых путей в /-графе Г. Здесь мы рассматриваем различные множества замкнутых путей, отвечающие различным фиксированным точкам графа Г. В результате мы построили отображение б из множества /-графов без меток в множество классов сопряженных подгрупп группы Z * Z2.
Теорема 2.8. Отображение б устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством /-графов без меток и множеством классов сопряженных подгрупп в группе Z * Z2, имеющих конечный индекс и не содержащих элементов конечного порядка.
Доказательство.
Докажем сначала, что любая подгруппа, являющаяся образом при отображении б, имеет конечный индекс и не содержит элементов конечного порядка. Рассмотрим правые смежные классы подгруппы Ну. Очевидно, что всем элементам группы Z*Z2 вида hg, где h ? Ну, a g— некоторый фиксированный элемент, соответствуют пути в /-графе Г с началом в вершине х и концом в одной и той же вершине у. Поэтому индекс подгруппы Ну равен числу вершин /-графа, а следовательно,— конечен.
Далее, любой элемент конечного порядка в группе Z*Z2, с образующими а, b и соотношением а2 — е, сопряжен элементу а и имеет порядок 2. Это следует, например, из теоремы Куроша о подгруппах свободных произведений. Предположим, что некоторая подгруппа Ну содержит такой элемент gag-1. Тогда этому элементу соответствует в /-графе замкнутый путь. Следовательно, элементам ga и g соответствуют пути с началом в вершине х и концом в одной и той же вершине у. Но это означало бы, что ребро а является петлей с началом и концом в точке у, что невозможно в силу определения /-графа.
Итак, мы доказали, что при отображении б образами /-графов являются лишь подгруппы конечного индекса, не содержащие элементов конечного порядка. Для завершения доказательства построим в явном виде отображение б-1.
Пусть Н — некоторая подгруппа группы Z * Z2. Построим граф смежных классов этой подгруппы. Вершины этого графа соответствуют правым смежным классам подгруппы Н. Две такие вершины х и у соединяются неориентированным ребром, если соответствующие им смежные классы X и Y связаны соотношением: Ха — Y, где а — образующая группы Z2. Аналогично, две вершины х и у соединяются ориентированным ребром, если соответствующие им смежные классы X и Y связаны соотношением: Xb = Y, где b — образующая группы Z. При этом ребро ориентируется от вершины х к вершине у. Ясно, что тогда вершины у и х соединены ребром, отвечающим образующей Ь-1.
