Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2.14 (Н. В. Коровина).
а) Для каждого целого числа g > 1 существует лишь конечное число максимально симметричных атомов рода g. Примеры указаны ниже.
б) Полный список максимально симметричных атомов рода g = 1, т. е. тори-ческих, состоит из двух бесконечных серий, описанных ниже.
в) Полный список максимально симметричных атомов рода g = 0, т. е. плоских, состоит из одной бесконечной серии и трех исключительных максимально симметричных плоских атомов, описанных ниже.
Доказательство.
Выше мы показали (см. пункт 7.7 и рис. 2.37), что каждому атому (Р,К) можно каноническим образом сопоставить клеточное разбиение поверхности Р, т. е. ее разбиение на многоугольники. Легко видеть, что если атом максимально симметричен, то максимально симметричным является и это разбиение. Это означает, что для любой пары ребер этого разбиения существует гомеоморфизм разбиения на себя, переводящий первое ребро во второе, и кроме того, для каждого ребра существует гомеоморфизм разбиения на себя, оставляющий ребро на месте, но меняющий местами его концы. При этом предполагается, что гомеоморфизмы сохраняют ориентацию. Отсюда, в частности, следует, что все многоугольники разбиения имеют одинаковое число сторон, а все вершины имеют одинаковую кратность. Таким образом, задача сводится к описанию симметричных разбиений замкнутой ориентированной поверхности.
Итак, сопоставим каждому максимально симметричному атому, точнее /-атому, разбиение на многоугольники, описанное выше. Пусть п — общее число ребер этого разбиения, р — число многоугольников, a q — число вершин.
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
111
Отметим, что п совпадает с числом вершин исходного атома (Р, К). Обозначим через I — число сторон каждого многоугольника, а через т — кратность каждой вершины. Поскольку каждое ребро соединяет две вершины и лежит в границе двух многоугольников с учетом кратности, то справедливы следующие очевидные соотношения
pi = qm = 2 п.
С другой стороны, эйлерова характеристика поверхности Р, следующим образом выражается через n, р, q:
X=P~n + Q-Отсюда получается следующая система уравнений:
X = —п + 2п ( т + —
V I т
pi
qm
2 п, 2 п.
Нас интересуют все положительные целочисленные решения этой системы. Рассмотрим последовательно все случаи а, б, в.
а) Случай сферы с g ручками, где g > 1. Здесь х < 0- Система уравнений принимает здесь такой вид:
1т
^2(ш + /) — /ш’ pi = 2 п, qm = 2 п.
Интересующие нас решения, т.е. целочисленные точки (/, ш), находятся в области D, заключенной между двумя гиперболами.
См. рис. 2.43. В самом деле, условие положительности числа п(1, т) дает нам нижнюю гиперболу. Действительно, условие положитель-1т
ности числа х\
эквивалентно усло-
2 (ш + 1) —1т вию 2(ш + I) — 1т < 0, поскольку х^т < О-Ясно, что уравнение 2(ш + I) — 1т = 0 определяет гиперболу на плоскости (/, т) с асимптотами I = 2, т = 2 (рис. 2.43). Эквивалентным образом, можно считать, что нижняя гипербола получается при п —> оо.
Верхняя гипербола определяется так. Из условия р, q > 1 вытекает, что х = —п + (р + q) ^ — п + 2, то есть п ^ 2 — х- Следовательно,
Рис. 2.43
________1т__________
2 (ш + I) — 1т
^2-х,
112
Глава 2
откуда 1т ^ (2 — х)(1 + ш). Уравнение 1т = (2 — х)(1 + т) определяет верхнюю гиперболу.
Рассмотрим линии уровня функции п(1, т). Легко видеть, что все они являются гиперболами, причем при п(1, т) = 2 — х мы получаем верхнюю границу области D, а при увеличении п эти гиперболы движутся вниз, и стремятся к нижней гиперболе, которую можно считать отвечающей значению п = оо.
а)
Рис. 2.44
Рис. 2.45
Теперь докажем конечность числа решений системы уравнений. Все целочисленные точки (/, ш), являющиеся решениями, лежат на описанных выше гиперболах из области D. На каждой такой гиперболе есть лишь конечное число целых точек-решений. Дело в том, что имеется лишь конечное число атомов данной сложности п, где параметр п задает данную гиперболу. С ростом п, очевидно, наступает момент, когда гипербола, приближаясь к нижней границе области D, оказывается настолько близко от нее, что между этими двумя гиперболами вообще нет ни одной целой точки. С другой стороны, число атомов сложности, не превосходящей п, тоже конечно. Все целые точки, отвечающие таким атомам, расположены в уже пройденной нами части области D. Пункт (а) теоремы доказан.
Приведем теперь примеры максимально симметричных атомов рода g > 1. Мы укажем две такие серии. Удобнее всего предъявить их на языке /-графов. На рис. 2.44 изображены две серии /-графов Хп, Yn, где п ^ 4. На рис. 2.45 изображены сами соответствующие атомы. Их тип, очевидно, зависит от четности числа п, т. е. от количества вершин атома. Для атомов серии Хп их род g вычисляется так:
