Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Ро — невырожденный локальный минимум (или максимум) гамильтониана F(x,y). Положим для определенности F(P0) = 0. Пусть П(с) — период потока w = sgradF вдоль замкнутой траектории вида 7С = {F = с} и По = НтП(с) Пусть и — сдвиг на время, равное 1, вдоль интегральных тра-
с—> 0
екторий потока w = sgradF. Рассмотрим линеаризацию da этого отображения а и пусть v и v~x — это собственные числа линеаризации в точке Ро. Предложение 8.4. Имеет место формула:
Доказательство.
По лемме Морса, выберем такие локальные координаты в окрестности точки Ро, в которых функция F запишется в виде F(x, у) = х2 + у2. Поскольку такие координаты не обязаны быть каноническими, то форма ш запишется относительно них в виде ш = ш(х, у) dx A dy, где ш(х, у) — некоторая гладкая функция. Тогда векторное поле w = sgradF запишется в виде:
Рассмотрим второе векторное поле ? = (—у, х). Оно пропорционально w,
и w = —-—Период поля ? постоянен и равен 2тг. Поэтому период П(с) поля w ш(х, у)
оценивается следующим образом:
где min и max берутся по окружности {F = с} с центром в точке Ро- Переходя к пределу, при с —> 0, получаем отсюда следующее равенство:
У — е±27гг/П0
27гтта;(ж, у) ^ П(с) ^ 27гтаха;(ж, у),
П(0) = 2тга;(0, 0).
Траекторная классификация. Второй шаг
305
С другой стороны, линеаризация поля w = —----------------- в точке Ро имеет
? (~У, х) ^
вид — ----- = ——-¦—-. Следовательно, собственные числа линеаризации выгля-
о;(0, 0) о;(0, 0)
дят так:
У _ е±г/о;(0,0)_
Сравнивая это выражение с П(0), получаем искомую формулу:
v —
Предложение 8.4 доказано. ¦
Предложение 8.3, очевидно, вытекает из предложения 8.4. ¦
8.5.2. Реализация оснащения на ребре молекулы
В этом пункте мы докажем техническое утверждение, позволяющее реализовать на ребре молекулы систему с произвольной гладкой функцией вращения p(f).
Пусть дано четырехмерное многообразие М4 = Т2 х (а, b) х (—1, 1), в котором выделены следующие два открытых подмножества (см. рис. 8.6):
Mi = Г2 х (а, а + е:) х (—1, 1) и М2 = Т2 х (6 — е, Ь) х (—1, 1).
Будем считать, что на М4 заданы две функции Н и /, причем Н — параметр на интервале (—1, 1), а / — параметр на интервале (а, Ъ). На двух множествах М\ и М2 у нас заданы симплектические структуры и Ш2 такие, что естественные слоения на 2-торы являются лагранжевыми. Это означает, что заданные на Mi две функции Н и / коммутируют относительно заданных структур о;*.
Рассмотрим на каждом торе Т2 из нашего двухпараметрического семейства некоторый базис (A, fi) (один и тот же для всех торов).
Пусть теперь задана некоторая гладкая функция p(f) на интервале (а, Ъ). Будем считать, что при а < f < а + е и при Ъ — е < f < Ъ эта функция р является функцией вращения интегрируемой системы v = sgradi? на трехмерном уровне {Н = 0}. Параметром внутри однопараметрического семейства торов на {Н = 0} будет функция /. Ниже мы хотим реализовать эту функцию как функцию вращения некоторой гамильтоновой системы с гамильтонианом Н на уровне {Н = 0}, поэтому мы должны наложить на нее еще одно естественное ограничение, связанное с тем, что она определяет направление векторного поля v с точностью до знака.
Однако, если мы знаем начальное направление векторного поля и функцию вращения, мы можем однозначно определить его конечное положение, непрерывно поворачивая поле, согласно поведению функции вращения. Мы будем поэтому
306
Глава 8
предполагать, что при формальном переносе вектора v с уровня {/ = а} на уровень {/ = Ь} согласно правилу, определяемому функцией р(/), мы приходим снова к полю v = sgrad i/, которое уже определено на этом уровне, а не к полю —V.
Далее, зададим одну и ту же ориентацию на всех 2-торах тривиального расслоения М4, и будем предполагать, что пара (sgrad i/, sgrad /) как базис в касательном пространстве к тору одинаково ориентирована на верхнем и на нижнем семействе торов, т. е. внутри Mi и М2.
Лемма 8.6. В сформулированных выше предположениях существует симплектическая структура О на всем многообразии М4, продолжающая две исходные структуры wi иш2, заданные на «граничном воротнике» Mi UM2. При этом она удовлетворяет следующим условиям:
1) Исходное тривиальное расслоение М4 на двумерные торы является лагран-жевым, т. е. функции Н и f коммутируют на М4.
2) Функция вращения интегрируемой гамильтоновой системы v = sgrad Н на однопараметрическом семействе 2-торов Лиувилля {Н = 0} совпадает с заданной заранее функцией p{f).
Доказательство.
Определим внутри Mi и М2 переменные действие-угол, отвечающие заданным симплектическим структурам wi и ш2 и фиксированной паре циклов (A, р).
