Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
В нашем случае в качестве трансверсали N' на кольце Р' мы возьмем такую кривую, которая вблизи одной граничной окружности совпадает с ?(N), а вблизи другой граничной окружности совпадает с f]{N). Внутри кольца кривая N' может быть выбрана произвольным образом, лишь бы она была гладкой и транс-версальной потоку Пуанкаре. После этого мы можем однозначно восстановить изоморфизм к: Р —^ Р', переводящий поток Пуанкаре а* на Р в поток Пуанкаре aft на Р'. Ясно, что по построению, вблизи первой граничной окружности >с совпадает с ограничением ?|р, а вблизи другой граничной окружности с т)\р.
Теперь нам нужно продолжить отображение к: Р —> Р' до траекторного изоморфизма ? между семействами торов Лиувилля Т2 х [а, Ь] и Т2 х [а', Ь']. Такое продолжение всегда возможно.
Траекторная классификация. Второй шаг
293
Дадим формальное построение. Сделаем гладкую замену времени на траекториях потоков v vi. v' так, чтобы время движения от произвольной точки ж G Р (соответственно, х' G Р') до точки а(х) G Р (соответственно, cr'(x') G Р') было равно единице. Тогда на семействах торов Т2 х [а, Ь] и Т2 х [а', &'] возникают естественные системы координат (х, t) и (ж', i'), где жиж' — точки на поверхностях Р и Р' соответственно, а ? и t' — новые времена вдоль потоков. При этом точки (ж, t + 1) и ((т(ж), t) отождествляются. Аналогично, имеем (ж', t' + 1) = (<т'(ж'), i'). Точку ж в свою очередь удобно представлять в виде пары (<р, /), где <р — параметр на окружности, а / — параметр на отрезке [а, Ь]. Аналогично, имеем ж' = (<р', /').
Теперь изоморфизм ( в координатах может быть записан следующим образом:
С (ж, t) = (ж' = х(х), t' = t'( ж, f)),
причем
1) t' монотонна;
2) t'(ж, i + 1) = tr(a(x), t) + 1;
3) *'(ж, 0) = 0,*'(®, 1) = 1.
Отображение, удовлетворяющее этим условиям, очевидно, существует, поскольку потоки
л „
Рис. 8.3
Пуанкаре а и а' сопряжены. Возьмем произвольное такое отображение ?. Соответствующую функцию tr(ж, ?) мы обозначим через ?'(ж, t). Затем «продефор-мируем» отображение так, чтобы вблизи граничных торов оно совпадало с ? и г] соответственно. Ясно, что формулы изоморфизмов ? и г] в координатах имеют такой же вид, что и выписанные выше формулы для (. Отличие состоит лишь в выборе функции t'. Обозначим эти функции для ? и г] через и t'v соответственно. Определим теперь новую функцию t' по формуле
(! - с(/))^(ж, t) + c(f)t'(ж, t) tr(ж, t) = < tr(ж, t)
k(l - с(/))^(ж, i) + c(/)?(ж, f)
при / G [a, a + 2e], при / G [a + 2e, Ъ — 2e], при f e [Ъ — 2e, Ъ].
Здесь c(/) — гладкая функция, график которой изображен на рис. 8.3. Легко видеть, что функция t'(x,t) удовлетворяет всем требуемым условиям. Лемма о сшивании доказана. ¦
Замечание. Нетрудно увидеть, что доказательство леммы справедливо и в гладком случае. Более того, все доказательство построено по существу на неявном предположении о гладкости всех рассматриваемых объектов. Это вполне естественно, поскольку, как мы уже видели, вся негладкость сосредоточена только на особых слоях, а сшивание производится на некотором удалении от них. Эту лемму мы используем ниже при рассмотрении гладкого случая.
Итак, сшивая между собой с помощью этой леммы атомные и реберные траекторные изоморфизмы, мы получаем в результате глобальный траекторный изоморфизм, что и требовалось.
Основная лемма в топологическом случае доказана. ¦
294
Глава 8
8.2. Группа замен трансверсальных сечений. Операция вклейки-вырезания
Из леммы 8.1 сразу вытекает способ построения траекторных инвариантов. Нам следует лишь подобрать такие комбинации из элементов избыточного ?-осна-щения, которые не зависят от выбора набора сечений Р.
С формальной точки зрения мы можем рассмотреть следующую конструкцию. Пусть Т — избыточное f-оснащение, соответствующее некоторому набору трансверсальных сечений Р. Если мы изменим набор сечений, то избыточное t-оснащение также изменится по некоторому вполне определенному правилу. На самом деле это означает, что на множестве всех избыточных f-оснащений {Т} действует группа замен трансверсальных сечений, которую мы обозначим через GTP. Оказывается, в качестве GT следует рассматривать прямую сумму групп целочисленных когомологий Д'1(РС, Z) для всех седловых атомов данной молекулы и еще s экземпляров группы целых чисел Z. Каждый экземпляр соответствует некоторому атому типа А.
Таким образом, GIP = (®СН1(РС, Z)) ® ЪБ.
Это утверждение является общим фактом из трехмерной топологии. Сейчас мы его прокомментируем. Рассмотрим два различных трансверсальных сечения Ptr и Р/г на каком либо седловом 3-атоме Qc. Чем они отличаются друг от друга? Здесь придется рассмотреть отдельно два случая: атомы без звездочек, и атомы со звездочками.
Начнем с атомов без звездочек. В этом случае 3-атом имеет тип прямого произведения (Qc, /-1(с)) = (РС,КС) х S1. Рассмотрим два трансверсальных сечения
