Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Здесь а, (3, у, 5 — коэффициенты матрицы склейки на соответствующем ребре, a MR+ и MR~ — средние арифметические конечных компонент соответствующих векторов вращения. Через [•] обозначена целая часть числа.
Ясно, что набор чисел [в\ является функцией избыточного оснащения. Определение 8.6. b-инвариантом радикала U называется число
Ни) = ?[%
Это определение в точности аналогично определению n-метки, данному в параграфе 3 главы 4. В действительности эти инварианты тесно связаны между собой. См. об этом ниже. При определении инварианта b мы использовали ту же самую идею: каждое входящие в него слагаемое изменяется при замене транс-версальных сечений на некоторое конечное число, однако, слагаемые подобраны таким образом, чтобы общая сумма не менялась.
Действительно, посмотрим как меняются компоненты [в] при замене транс-версального сечения для атомов, принадлежащих радикалу. Из предложения 8.2 сразу следует, что изменение происходит по следующему простому правилу
№ = Шп + кп,
где индекс п нумерует ребра, инцидентные атому Vc, а кп являются коэффициентами различающих 2-коцепи кс. Если мы рассматриваем коэффициент [0]j, стоящий на внутреннем ребре радикала, то для него нужно учитывать оба коэффициента kj~, kj, стоящие на начале и конце ребра, т. е.
[9]'j = [9\j + kf + к, .
Траекторная классификация. Второй шаг
315
Условимся записывать все это семейство соотношений как
[вГ = [в}+д,
где q = (kCl, ... , kCp) — набор различающих 2-коцепей для всех атомов, входящих в семью.
Если замена сечения происходит на атомах, не входящих в данный радикал, то никаких изменений не происходит.
Поскольку каждая 2-коцепь кс является кограницей, то сумма ее коэффициентов равна нулю. Отсюда следует, что сумма всех [9]j по всем ребрам радикала не изменилась. Инвариантность b по отношению к действию группы замен GP доказана. Согласно первому общему принципу это означает, что b является корректно определенным топологическим траекторным инвариантом системы.
Пусть теперь дана какая-то семья в молекуле W*. Как было уже сказано, семья распадается в сумму непересекающихся радикалов. Согласно главе 4, каждая семья несет на себе целочисленную метку п.
Каждый радикал U несет на себе целочисленную метку b (^-инвариант).
Предложение 8.5. Метка п равна сумме Ь-инвариантов всех радикалов, составляющих данную семью.
Замечание. Это соотношение является единственным, которому удовлетворяют Ь-ин-варианты радикалов. Это означает в действительности, что Ь-инварианты могут принимать произвольные значения независимо друг от друга и других, ранее открытых инвариантов. В этом смысле Ь-инвариант является новым, независимым траекторным инвариантом интегрируемых систем.
Доказательство.
Начнем с того, что дадим полное определение (новой) метки п. Пусть S — произвольная семья молекулы. Напомним, что радикалы, составляющие данную семью S, получаются из нее разрезанием по бесконечным, но не супербеско-нечным ребрам. При подсчете метки п каждому такому ребру е* ставится в 7 к
соответствие число С точки зрения радикалов этому же ребру ставятся в
соответствие два числа
[MR+] и - [-MR+],
Заметим теперь, что две функции вращения р~ и р+ на бесконечном (или на супербесконечном) ребре связаны соотношением:
р~ = -р+ -1-
Следовательно, MR~ = —MR+ —
Отсюда получаем, что
[МЯ+] - [-MR-k ] =
316
Глава 8
Таким образом, при переходе от семьи S к сумме составляющих ее ради-
7к 1
калов, каждое число (стоявшее на бесконечном, но не супербесконечном
ребре) распадается в сумму двух чисел
[MR*] и - [-MR-],
На всех остальных ребрах семьи вообще никаких изменений при этом не происходит. Следовательно, общая сумма чисел вида [0]* не изменится. Предложение доказано. ¦
8.6.3. Л-инвариант
Определение 8.7. В качестве Л-инварианта данного атома мы просто возьмем инвариант Л для любого трансверсального сечения в Qявляющийся составной частью избыточного i-оснащения.
Неизменность Л при изменении сечения следует из пункта 3 предложения 8.2.
8.6.4. А^[0]-инвариант
Построение этого инварианта мы начнем со следующего полезного замечания. Если внимательно посмотреть на формулы преобразования избыточного i-оснащения под действием группы замен GT (предложение 8.2), то легко заметить, что почти во всех формулах принимает участие различающая 2-коцепь кс. Исключение составляет только закон изменил Z-инварианта. Оказывается, небольшой модификацией Z-инварианта можно добиться того, чтобы он, как и все остальные инварианты, менялся с помощью различающей 2-коцепи кс, а не 1-коцепи тс. Это изменение позволит нам на самом деле несколько упростить группу GT, заменив М на К = <Ш1.
