Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
F -6 2 (6-1/2) т/ л л п л
¦'4=- = Т(МГ. F = 6> z = °. n=°-
Поэтому точка Z% после преобразования (6.16) переходит в то^ку х с
координатами
г=0' а=°-
Пусть разрыв на сепаратрисе У вводится в точке уг, достаточно близкой к
точке Z%. После преобразования (6.16) точка уг переходит в точку xi,
достаточно близкую к точке х; поэтому траектория системы (2.1),
проходящая через точку zlt движется в окрестности плоскости z = 0 и, как
показано в § 5 (см. (5.7)), при к оо входит в особую точку Z% (z = V = ?2
= 0). Автомодельное решение, определенное отрезками траекторий 2%уг,
xiZ?, определяет растекание от центра.вращающегося тонкого слоя жидкости
с разрывом (амплитуда скачка 1), движение которого
Л 2 -ti-2 ' 1 - О
определяется условием к = кг = const. В этом решении имеется
расширяющаяся от центра внутренняя граница (к = А0), на которой согласно
асимптотике (4.12) толщина слоя жидкости h - 0, давление р = 0, угловая
скорость ?2 = 0. При к оо (г оо) все параметры решения (скорость,
давление, высота h) стремятся к нулю согласно асимптотике (5.4).
Указанные автомодельные решения, вероятно, могут быть использованы при
моделировании некоторых явлений в океане.
ГЛАВА VII
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
В данной главе изучаются адиабатические движения идеального газа с
однородной деформацией, в которых скорости частиц газа являются линейными
функциями координат. Такие движения сплошной среды изучались в большом
числе работ, первыми из которых были классические работы Дирихле,
Дедекинда и Рима-на по теории фигур равновесия идеальной несжимаемой
гравитирующей жидкости (см. [153-155]). Сферически-симметричные движения
идеального газа с однородной деформацией рассматривались в работе [156] и
с учетом ньютоновской гравитации - в [157]. Полный класс движений
идеального газа с однородной деформацией впервые был выделен в работе
[158], гамильтонов формализм в этих задачах развивался в [159]. Движения
с однородной деформацией применялись при изучении расширения в вакуум
невращающегося газового эллипсоида [160, 161] и сжатия эллипсоида под
действием внешнего давления [162], при изучении движения пылевого
гравитирующего эллипсоида (с применениями к теории образования галактик и
динамики звезд в галактиках) [163-165], эллипсоида заряженной жидкости
[166] и эллипсоида несжимаемой негравитирующей жидкости [167], а также в
магнитной газовой динамике при изучении пульсаций плазменного шнура
[168]. Движение гравитирующего газового шара рассматривалось в качестве
модели пульсаций переменных звезд-цефеид [132]. Движение гравитирующих
газовых эллипсоидов в работах [169, 170], использующих в основном
численные методы, рассматривалось в качестве модели образования галактик
и звезд из облаков первоначально холодного газа. При этом в работе [169]
было отмечено, что адиабатическое движение гравитирующего газового
эллипсоида при отрицательной энергии Е, как и движение эллипсоида
несжимаемой жидкости, исследованное Дирихле в 1860 г. (см. [153]),
происходит в колебательном режиме.
В данной главе показано, что общий колебательный режим движения
гравитирующего газового эллипсоида при Е <С 0 при определенных значениях
параметров можно аппроксимировать последовательностью более простых
движений гравитирующего пылевого эллипсоида, и указан новый колебательный
режим движения газового эллипсоида при Е 0 (расширение вращающегося
газового облака в вакуум). Проведено исследование различных свойств двух
колебательных режимов движения гравитирующего газового эллипсоида.
§ 1] УРАВНЕНИЙ ДВЙЖЕЙИЯ ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА 261
§ 1. Уравнения движения негравитирующего газового эллипсоида
I. Движения газа с однородной деформацией. Уравнения адиабатических
движений идеального газа в декартовых координатах имеют вид
где иг - вектор скорости газа, р - давление, р - плотность газа,
евклидова пространства. Движениями газа с однородной деформацией
называются решения уравнений газовой динамики (1.1), для которых эйлеровы
координаты частиц газа хг являются линейными функциями лагранжевых
координат ак:
(всюду по повторяющимся индексам производится суммирование). Напомним,
что эйлеровыми координатами частиц газа называются их (изменяющиеся)
координаты в евклидовом пространстве я1, я2, я3, в то время как
лагранжевы координаты а1, а2, а3 различают частицы газа и остаются
постоянными (для каждой частицы газа) в течение всего процесса движения
сплошной среды. В силу определения (1.2) получаем
где F- матрица, обратная к матрице F: F?F= Е.
Уравнения газовой динамики (1.1) для движений газа вида
(1.2) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, если
давление и плотность газа имеют вид
p = p{t)P{Q, р = р {t)R{t), ?== -(1.4)
гДе §ц - некоторая постоянная симметричная матрица. Установим связи между
функциями р (t), р (t), Р (?), R (?). Уравнения (1.1) после подстановки
выражений (1.2) - (1.4) переходят в систему уравнений
(l.i)
у 1 - показатель адиабаты, Щг - $1 - метрический тензор
