Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
условиями w 0, U (yt) = 0. Пересечение этих компонент N = Г0 f] Гх (угол
края Г) имеет размерность 2п - 3 и задается условиями
и (yt) = 0, W = 0. (1.28)
Динамическая система на многообразии 5 определяется путем преобразования
системы (1.25) в координаты Wx и W2 (это преобразование использует
однородность функции U (qt)). В координатах Wx и времени тх:
dt! иа!*(ч *)
n
17 W (23 "э)1/а
3=1
получаем систему
268 ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА / [ГЛ. VII
В координатах W2 и времени т2:
dx, Uat2 (q.)
dt
и{уд^{Ъ ??)1/: fc=i
(1.30)
n
система (1.8) имеет вид
-+?<(!, ^7 fv))
7=1
n
pi = и (ys) (Pi - yi ( 2j Pv^v)) >
7=1
w = aw(l + 2aw)^^-pvj ,
7=1 V
17, \/V" dU \
-VM{ljliy7PT
d%2
'7=1
Очевидно, что граница Г = Г0 |J Гх является инвариантным многообразием
для систем (1.29) и (1.31). При а=-1 система (1.31) имеет еще одно
инвариантное многообразие V: w - V2, соответ-
п
ствующее нулевой полной энергии Е = г/2 2 <Z?+a^a((Z0-
i=l
§ 2. Колебательный режим расширения вращающегося газового облака в вакуум
В этом параграфе мы укажем новый колебательный режим движения газа путем
аппроксимации траекторий системы (1.21) последовательностями особых точек
и их сепаратрис, мимо которых эти траектории движутся.
I. Перечислим множества особых точек и их собственные числа для
системы (1.29), (1.31) при a = +1:
1) Me:w = 0, Pi = 8уи 8 = ±1. Mi лежит на границе Г0, dim Мг = п - 1.
Собственные числа этих особых точек следующие:
- aXsU (yj) (переменная w);
Я2 = . . . = Хп = 0 (переменные pt),
К+1 = . . . = %гп-1 = (yj) (переменные уг).
Особые точки Мг невырождены, поскольку число нулевых собственных чисел
равно (п - 1)-размерности Мг. При сделанных
§ 2] КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВОГО ОБЛАКА 269
\
выше предположениях (а < О, X 0; см. (1.24)) особые точки М+ являются
притягивающими, а особые точки М_ являются отталкивающими. #
2) N: w = 0, U (yj) = 0. N есть угол границы Г: N= Г0 р| Гь dim N = 2п
- 3. В этих особых точках 2п - 3 собственных числа, отвечающих
размерности множества N, равны нулю и имеются два ненулевых собственных
числа:
- (переменная w),
V=1 V
п
Х2 = У, Ру (переменные у\).
(2.1)
Уу
7=1
п
Условие Ру^>0 на N выделяет множество N+, а условие
7=1 7
п
У, ру <] 0 определяет множество N_. Эти условия, очевидно,
7=1 7
означают, что точка (ру, у у), принадлежащая множеству N, лежит на N+,
если точка (ру) на единичной сфере Sп~г лежит по ту же сторону от
плоскости, касательной к поверхности U (у) =0.
в точке (уу), что и нормаль к этой поверхности-^^- j | grad U (у) |.
Аналогично, точка (ру, уу) лежит на N_, если точка (ру) лежит по
отрицательную сторону от этой касательной плоскости.
Особые точки N+ и невырожденные и неустойчивые, каждая точка N+ имеет
одну входящую сепаратрису, идущую по 1\, и одну выходящую сепаратрису,
идущую по Г0, а точки Nx - наоборот.
dU
3) Вырожденные особые точки L, в которых -^- = 0 (особые
в геометрическом смысле точки поверхности U (yt) = 0), координаты pi, w
произвольны.
II. Для нахождения сепаратрис особых точек Ме и N проинтегрируем
систему (1.31) на границе Г = Г0 |J IV Траектории этой системы на
компоненте Г0 имеют вид
о а о ^h- Хп , о sh х - sh т0 /<¦>
Pi = Pu w = 0, yi = yl--2- + pl-----------^ о.. (2.2)
П
Здесь pi, y°i, т0 - константы, причем tht0 = 21 Pi уЬ Время т
г-1
связано с т2 по формуле dx = U (y^dx^. Траектория в координатах yt
движется по кратчайшей дуге большого круга на единичной сфере проходящего
через точки (у\) и (р\). Концы тра-
270 ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА / [ГЛ. VII
ектории (2.2) лежат на множествах особых точек 1т, М_, или N, т. е.
каждая траектория является сепаратрисой некоторой особой точки.
Траектории системы (1.31) на компоненте границы 1\ U (Уг) - 0) имеют
следующий вид: /
_____о "____ch2 т0 - ch2 г ___j) сЫг0 , по shr - shr0
у* У" w---------' л-Л-ЯГГ+**-агг-•
Q о 0 " ,/ 0ч Srad V (уЬ
одесь уи т0, '(ел =-----------------------------константы, причем
| grad U (уп.) |
(2.3)
71
2 pbi = th to < 0, S Pisi = th т. (2.4)
г=1 г=1
Время т определено выражением dx = w | а | | grad U (yfi | dx2
в (2.3). Траектория (2.3) имеет начальную точку (р\, у\,
w = 0) при т = т0 на N_, конечная точка этой траектории (Pi (т)> т = -то>
Уи w = 0) в силу (2.4) лежит на N+. Конечная точка (pi (-т0)) получается
из начальной точки (р°) отражением в плоскости, касательной к поверхности
U (yt) = 0 в точке (у\). Максимальное значение w вдоль траектории (2.3)
достигается при т = 0 и равно
п
к. , (s
ch2 -Гр - 1 ________ i=i
(2.5)
III. Полученный вид сепаратрис (2.2), (2.3) приводит к следующей
сепаратрисной диаграмме:
M_-ZN_^lN+-tM+. (2.6)
3+
Здесь стрелка означает, что особая точка, являющаяся начальной для
некоторой выходящей из нее сепаратрисы, отображается в конечную точку
этой сепаратрисы. Отображения, определенные таким образом, обозначены а_,
а+, Р+.
Вырожденные особые точки L в сепаратрисную диаграмму не входят, поскольку
между ними и особыми точками Ме, N нет се-паратрисных переходов. Особые
