Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
равновесного состояния
(3.5) из первоначально разлетавшегося с асимптотикой (2.1)
(соответственно (2.6)) газа.
Совершенно аналогично, используя фазовые портреты рис. 28, получим, что
при 1 < у <С 5/3 целая область многообразия S заполнена устойчивыми
траекториями, выходящими при из отталкивающей особой точки Z10 и
входящими при X ->¦ оо в притягивающую особую точку Z8. Соответствующие
автомодельные решения описывают интенсивную аккрецию (число Маха М ->¦
оо) самогравитирующего газа на центр (асимптотика (4.2)) из
первоначального состояния (3.12), являющегося некоторым возмущением (за
счет наличия движепия газа при t - 0) равновесного состояния (3.5). В
этих решениях скорость газа v при t = 0 может иметь любой знак. При со j>
2 в асимптотике (3.12) скорость
§5] \ НОВЫЕ РЕШЕНИЯ В МОДЕЛИ ВСПЫШЕК ЗВЕЗД ^ 207
газа 1?-^(\при г-*- оо, поэтому указанные решения описывают в
классической теории коллапс звезды с образованием в центре "черной дырш>
из асимптотически (при г оо) равновесного состояния (3.12).
Отметим, чтЬ при у = 5/3 и у = 4/3 также существуют автомодельные
решения, аналогичные описанным выше и имеющие асимптотики аккреции\4.3) и
(2.5).
\
§ 5. Новые решения в модели вспышек звезд
I. Постановка задачи. Напомним физическую постановку модели вспышек
звезд, следуя работам [7, 116]. В этой модели предполагается, что в
начальный момент времени звезда образована массой идеального
самогравитирующего газа, находящейся в состоянии равновесия:
CiA 2jtc^A20r о с\
"V* Р=---ТГТо-----Г( = Т-7Г Г , v = 0,
г- (со - 1) (3 - со) ' 3 - со
(5.1)
где 1 < со < 3, сг - безразмерная постоянная. Затем из центра симметрии г
= 0 в результате выделения энергии (например, взрыва) или потери
устойчивости начинает распространяться ударная волна - разрыв физических
параметров газа (плотности, давления, скорости газа и энтропии).
Предполагается, что движение газа за ударной волной является
автомодельным, т. е. параметры газа имеют вид
Р=-±Я(Х), p = JLp(b),
(5.2)
l = v = -LV(k),
где автомодельная переменная Я = Отметим, что рав-
новесное состояние (5.1) также является автомодельным: этому решению
соответствуют безразмерные функции
"(4=3%^^". I'(4=0. (5.3)
После преобразования в переменные z = yP/R, т, V равновесному состоянию
(5.1) соответствует траектория X системы автомодельных уравнений (1.14):
т/__п я-___ У ' r~ / v
208
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВЙЖЕЙЙЁ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
(ГЛ. V
Закон движения ударной волны в автомодельном решении есть X = Скорость
распространения ударной /волны =
2 /
= - Х% (AG)1!(r) №-&)!& ^ поэтому при со 2 ударная волна замедляется при
удалении от центра, а при о)<2 ускоряется. На фронте ударной волны
выполнены условия сохранений массы, количества движения и потока энергии,
которые йосле пересчета в безразмерные переменные принимают вид (индексы
1 и 2 указывают величины по разные стороны разрыва) /
(Уг - 2/со) - Д2 (F2 - 2/со), тг - т2,
У г-1г + ^ - П ¦-I- + т (V|" 2;", , • (5.5)
При преобразовании (5.5) (величины с индексом 2 переходят в величины с
индексом 1) траектория X (5.4) отображается в линию Y(q):
" _ 4 (27 - (7 - l)g)(7 - 1 + 2?) т _ 8 (ш - 1) у _ 4(1 - ?)
cd2(y+1)2 ' 7а)2 (7+I) со
(5.6)
Автомодельные решения, которые сопрягаются через ударную волну с
равновесным состоянием газа (5.1), соответствуют траекториям системы
(1.14), входящим при некотором X - Х% в точки на линии Y (q) (0 < q <С
1); при Х% < X <С сю решение определяется отрезком траектории X (5.4)
(при этом траектория при X Х% лежит в "дозвуковой" области L ~ z - (V -
2/со)2 0 многообразия 5, а отрезок траектории X при Х^> Х% лежит в
"сверхзвуковой" области L < 0). Поскольку на ударной волне т1 = иг2, то,
сопоставляя выражения для т из (5.3) и (5.6), находим, что
2 (со-С- .) С- (5.7)
Таким образом, решения задачи о вспышке звезды определяются единственным
параметром q = М~2, где М 1 - число Маха движения ударной волны по
покоящемуся газу.
Для равновесного состояния (5.1) полная энергия (гравитационная плюс
тепловая) шарового слоя < г < г2 имеет вид
E=](-t=l-??TL)im,dr'
ri
(c) ф 5/2 : Я = 8я2 _ !) (М _(3 _ J) CiGA2 5_2о) г5-2ш In" (5-8>
со = 5/2 : Е = c\GA2 32f.(4 ~ Зу) In .
1 3 (7 - 1) П
§5] \ НОВЫЕ РЕШЕЙИЯ В МОДеЙЙ ВСПЫШЕК ЗВЁЗД 209
При 0 < 5X2 полная энергия Е шара радиуса г конечна, а при со ^ 5/2
бесконечна, причем Е < 0 при у > у4 и Е 0 при у
< У±, гДе Т4 - (2со - 1)/2 (0 - 1).
Решения задачи о вспышке звезды в рассматриваемом классе движений газа
при со > 5/2 вследствие расходимости энергии на нижнем пределе (сц.
(5.8)) являются некоторыми промежуточными асимптотиками, применимыми вне
малой окрестности центра г = 0. Решения с у ^ у4 (Е ^ 0) описывают
разрушение неустойчивого равновесия звезды. Закон выделения энергии в
автомодельном решении имеет вид
Е = aG5/c0-1^5/C0^2(5-2(0)/C0e (5.9)
Выделившаяся энергия Е не зависит от времени только при со = = 5/2 или
при а = 0. Константа а вычисляется из самого решения путем сравнения
