Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
и = 2Са^ш-'/2 [ ((со - в/2) а - sin (Р In % + 0) -
- а|3 cos (р In "К + 0) J .
Здесь введены обозначения
со-37 + 1 о = / 2(со -1)(4 -3Т) _ 5 2чV,
^ 4 (со -1)(4 -Зу) ' Р \ у V /2) ) '
Р - мнимая часть собственных чисел Я+ (3.3) (при у < у2), Си С2, 6 -
произвольные постоянные. Полученные решения (ЗЛ) после пересчета в
исходные координаты V, т, R, Р:
у___JLr т___ т2 _________ 2 (со - 1) (1 + у)
' pjKI '
в = ?-пг4г\' P=-zR=-^-2я (V - 2/со) Y тр2
и подстановки в (1.8) приводят к следующим асимптотическим формулам для
автомодельных решений при 5/2 ^ ш < 3, у <; у2, 0:
и=-г~^-х' р = -^-(1 + 2^ + У-").
2я С\А^а
р= (м - 1) (з - ш) гг(1'ш) (1 + 2* + у - 2w)> (3-8)
С1 +х + у - и).
Здесь С0=С2 (со-1)(3-(о)/2яу, функции и, я, г/ определены в (3.7).
Формулы (3.7) - (3.8) описывают асимптотический характер автомодельных
колебаний самогравитирующего газа в окрестно-
202
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВЙЖеМЙЕ ГАЗА fi ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
сти равновесного состояния (3.5), которое является пределом (3.8) при х2
+ г/2 + и2 0. Область применимости формул (3.7) -
(3.8) определяется условиями: при со = 5/2, у < 4/3 Сг 1,
к -> 0; при со > 5/2, у < Т2 <€: 1Д -> 0.
При со > 5/2, у <С у2 автомодельные колебания самогравитирующего газа
являются затухающими, при этом во всем пространстве г ]> 0 диссипация
энергии отсутствует в силу адиабатичности движения газа. Покажем, что в
этих автомодельных решениях отсутствует также поток энергии к центру
симметрии г - 0, где решение (3.8) имеет сингулярность. Плотность энергии
(на единицу массы) идеального самогравитирующего газа имеет вид
__ v2 р GJI
Z- 2 + (Y-1)P г •
Полное количество энергии, перенесенной газом через сферу радиуса г0, и
совершенной при этом работы против сил давления в течение бесконечного
отрезка времени t0 < t < о° определяется формулой
со оо
Ф (Го) = § 4яго (ре 4-P)vdt = 4яго § (р -тг + Р ~ v dL
и и
Эта величина после подстановки асимптотических формул (3.7) -
(3.8) имеет вид (А,0 = r0
[V - 2 (со - 1) (V - 1)] ,
Ф W = со (со - I)2 (3 - со) (7 - 1) (4 - З7) 1Г. (AGtl^r^ X
X [- (со - 5/г) Sin (Р In Xq + 0) -f р cos (Р In Х0 + 0)].
Функция Ф (г0) при г0 0 осциллирует и бесконечное число раз меняет знак.
Это и означает, что в процессе затухающих автомодельных колебаний
самогравитирующего газа поток энергии в центр симметрии г - 0
отсутствует.
II. Исследование динамической системы на компоненте границы Г8.
Динамическая система на компоненте границы Г8 (г = 0) описывает
автомодельные движения самогравитирующей пыли (давление р - 0). В этом
случае вдоль линий тока плотность энергии е - (v2/2) - (GJf/r) остается
постоянной, т. е. de/dt = 0. Для автомодельных решений е = (r2/t2)(V2/2 -
т). Обозначим гг = V2/2 - т. Закон сохранения 8 переходит в уравнение
~~ = - 2et У-) . (3.9)
dx V - 2/со 4 '
Система автомодельных уравнений (1.14) на компоненте границы Г8 имеет вид
_ т + у2_у , 2-3V /0/(т
§ 31 Исследование динамической системы на г, и г, 203
V
Эта систем^ = имеет монотонную" функцию / - а =
= (2 - со)/(о> - 3):
#=^3-/. / = /оехр(-^тт).
Из (3.9) легко получаем в явном виде одну точную траекторию системы
(3.10):
гг - 0, или т - У2/2.
Динамическая система на компоненте границы Г8 при о > 2 имеет пять
изолированных невырожденных особых точек: Z8>
/77
Рис. 28. Фазовые портреты динамической системы (3.10) на компоненте
границы Г3: а) у > 1, 2 < со < 3; б) у > 1, 1 < со < 2.
Z9, Z10, Ct, Н (и еще особую точку Z6 при со < 2) и отрезок седло-вых
особых точек DXG. Особые точки на отрезке DXG и особые точки Съ Н, как
отмечалось в § 1, являются седловыми, и все их сепаратрисы лежат на
различных компонентах границы Г. Особые точки Ze (со <С 2) и Z9
рассмотрены в § 2. Отметим, что особые точки Z8, Z9 и Z10 лежат на
параболе т = F2/2, которая, таким образом, состоит из сепаратрис этих
особых точек.
Особая точка Z10 (г) = и2 - 0, т4 *= 2"1/*) имеет следующие собственные
числа:
%п=1, = = (3.11)
При 1 <С у < 5/3 особая точка Z10 является отталкивающей. Сепаратрисам,
выходящим из этой особой точки, соответствует устойчивая при X ->¦ 0
асимптотика аккреции газона центр, которая обсуждается в § 4. При у ^>
5/3 особая точка Z10 является седло-вой, причем двумерная выходящая из
Z10 сепаратриса лежит на компоненте границы Г8, а одномерная входящая в
Z10 сепаратриса лежит на компоненте границы 1\.
/
204 АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ / [ГЛ. V
Особая точка Z% (V - z - пг = 0) является притягивающей, ее собственные
числа имеют вид Кт = %2 = -со,/л^ = - со/2. Траектория X (3.4), выходящая
при из особой точки Z3,
при Х-* оо входит в особую точку Z8. Остальные сепаратрисы, входящие при
оо в эту особую точку, имеют асимптотику
причем для сепаратрис, касающихся плоскости V = 2 (со - 1) z/y -
- т, скорость газа v = AG (2 (со - 1) Сг/у - С2) г1_0). Очевидно,
асимптотика (3.12) описывает некоторое возмущение равновесного состояния
(3.5).
Проведенное исследование особых точек позволяет полностью восстановить
