Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
имеет вид
D' Ж г ir\ 1 \
R ------Т ^
дх (в (1 - и2))1/2
В двух внешних областях Fx и У2, описываемых движением траекторий системы
(1.11) в области и -1, Q + и 0, имеем R' 0. Поэтому решения типа Е
описывают коллапс материи (при наличии давления), сопровождающийся
образованием сходящейся ударной волны.
ГЛАВА V
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ САМОГРАВИТИРУЮЩЕГО
ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
В ньютоновской теории автомодельные сферически-симметрич-ные движения
идеального самогравитирующего газа при наличии ударных волн впервые были
рассмотрены в работах [7, 116] в качестве модели вспышек сверхновых
звезд. При этом в работе [7] был проведен анализ законов сохранения для
автомодельных решений, найден ряд точных решений и некоторые решения
исследованы численно; в работе [116] использовались в основном численные
методы. Последующие работы [117-123] содержали уточнение результатов
работ [7, 116] и развитие примененных в этих работах методов.
Автомодельное движение идеального газа в поле притягивающего центра
рассматривалось в работах [124-127].
В данной главе модель вспышек звезд [7, 116] изучается с помощью методов
качественной теории многомерных динамических систем. Проведено также
качественное исследование модели вспышек в оболочках звезд. Получены все
возможные асимптотики автомодельной аккреции самогравитирующего газа на
центр и построен ряд решений со сходящимися ударными волнами.
§ 1. Разрешение особенностей динамической системы
I. Уравнения газовой динамики для автомодельных решений.
Основными физическими параметрами сферически-симметричных движений
идеального газа в ньютоновской теории являются радиальная скорость газа v
(г, t), плотность газа р (г, t) и давление газа р (г, t), где г -
радиальная координата, t - время. Температура идеального газа Т
определяется из уравнения состояния
р = ^-рт, (1.1)
где Л0 газовая постоянная, [х - масса одной грамм-молекулы газа. Энтропия
S единицы массы идеального газа определяется выражением S = Су In (р/р^),
где у = Cv!Cy 1> Cv и Су - удельные теплоемкости газа при постоянном
давлении и объеме. Движение газа, в котором отсутствует поступление
энергии извне, называется адиабатическим; в этом случае dS/dt = 0,
постоянная у называется показателем адиабаты.
При наличии ньютоновского гравитационного притяжения частиц газа на
частицу массы m, находящуюся на расстоянии г
§ 1] РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 183
от центра симметрии, действует сила притяжения
F = - G т,Мt] , (1.2)
где Ji (г, t) - полная масса газа внутри сферы радиуса г в момент времени
t, G - гравитационная постоянная, имеющая размерность [G] = IS/P'Lr1' Т~2
= см3*^1 *с~2. По определению имеем
= 4лг2р. (1.3)
Уравнения адиабатического движения идеального самогравитирующего газа,
выражающие законы сохранения массы, импульса и энергии, в сферически-
симметричном случае имеют вид
-?-+<^ + ^=0, (14)
dv , dv , 1 dp . п М п /л сгч
^Г+у-9Г + -3T + G^ = 0' (1-5)
iw?l + vlM!L==o. (1.6)
dt ' dr v '
Уравнения газовой динамики (1.3) - (1.6) инвариантны при действии
трехмерной группы R3 масштабных преобразований, соответствующих
растяжению единиц измерения физических величин:
г' = Zr, t' = т?, Ж(гг, tr) = [xJ? (г, ?), i/(r\ "') = -i-i;(r, f), р'
(г', О = р (г, t), (1.7)
р'(г%О ==-^т^(г,о..
Автомодельными решениями уравнений газовой динамики по определению
называются решения, инвариантные относительно некоторой
однопараметрической подгруппы R1 масштабных преобразований, не меняющих
гравитационную постоянную G. Все такие подгруппы R1 определяются одним
параметром со, причем I = = т2/0, \х = т2^-1), т ЕЕ -R+* Соответствующие
автомодельные решения имеют вид [7]
1----Gf2 ' J G<'
y = -7-^W.
где Я, - безразмерная автомодельная переменная:
(1.8)
184 АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [ГЛ. V
константа А имеет размерность Автомодельные решения
зависят от двух безразмерных постоянных: показателя адиабаты у 1 и
показателя автомодельности (о (из положительности р и М в равновесном
распределении газа следует 1 < со < 3 [71; см. ниже, § 5).
Уравнения газовой динамики (1.3), (1.4), (1.5) и (1.6) после подстановки
выражений (1.8) с использованием новой переменной z (Я) = у Р/R вместо Р
(Я) преобразуются в следующую систему обыкновенных дифференциальных
уравнений [71:
ь[Г-(А_г)-?.]=2_ЗГ,
\т - - 3 т + 4 itR,
7(4 + 4-)]=" + 1,!-', + т- <1Л0>
где штрих означает производную по %. Система дифференциальных уравнений
(1.10), как показано в книге [7], имеет два интеграла (существование этих
интегралов можно проверить непосредственной подстановкой): интеграл масс
№ [(1 - 3/со) т - 2nR (V - 2/со)] = Сх (1.11) и интеграл адиабатичности
/ (>-4) I (¦-•г) "с. (1.12)
В данной главе автомодельные решения рассматриваются на уровне интеграла
Сх = 0 - это физически наиболее важный случай отсутствия источника
вещества в центре симметрии [71. В этом случае интеграл (1.11) дает связь
('-"о
Система уравнений газовой динамики для автомодельных решений - система
