Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
сепаратриса и выходит (из 1г) двумерная
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
167
сепаратриса Ь'г (рис. 23). В отрезок /2 входит трехмерная сепаратриса L.
При этом имеется двумерная сепаратриса L2, являющаяся гладким
продолжением L2, соответствующая собственным числам Х^ (ос); все
остальные входящие в отрезок траектории касаются двумерной сепаратрисы Ьъ
соответствующей собственным числам Х+ (а). Во всех случаях при вхождении
траектории в отрезок I параметр ? = In г остается конечным.
Рис. 23. Качественная картина поведения траекторий динамической системы
(1.11) в окрестности особых точек на отрезках 1г, /2, /з.
Особые точки Zlf Z2, Z3 и их сепаратрисы имеют наибольшее физическое
значение. Динамическая система на многообразии S имеет в этих особых
точках следующие собственные числа (индекс внизу указывает
соответствующее собственное направление):
Z±: Ха - -3, Xw
Z2:Xq = -^2, %v
2, Xu - 1;
(1 - k)u2
Xu =
2 (1 - u^)(u2 (1 ¦
-k)-
zs
(к - "b k)
г _ -(1 + ЗА) ±i (7+42ft • K4'w~ 2 (1 + k)
0;
(2.12)
k2)11*
1 - k 1 + ft
168
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТО
[ГЛ. IV
Таким образом, особые точки Zx и Z2 являются неустойчивыми седлами;
особая точка Z3 (также неустойчивая) на компоненте границы Г3 (и = 0)
является притягивающим фокусом и имеет одномерную выходящую из нее внутрь
многообразия S сепаратрису X.
Все траектории на компонентах границы Г6 (w = 0) (при
0 и -кх!2) и Г3 входят в притягивающие (на этих компонентах границы)
особые точки Z2 и Z3 соответственно. На компоненте границы Г6 это следует
из того, что Q 0 на Г6. На компоненте границы Г3 (и = 0) это следует из
того, что динамическая система
(2.7) при и = 0 не имеет предельных циклов. Действительно, при и - 0 на
линии q = - (1 + к)/к, в силу системы (2.7), имеем q = = (1 + к)/к2,
поэтому циклы могут находиться только в области q^> - (1 + к)/к
(поскольку в этой области находится особая точка Z3 (q = -1)). Система
(2.7) при и = 0 после преобразования в координаты q, Vx = 1 + w (1 + qk/{
1 + к)) (в области q ]> - (1 + к)/к/ имеем Vx 1) принимает вид
. Г О 1 1 "4" ^ 1 + & ТТ I ^
?=9|_ +Н&--------------ЪГ-?' + ~ТТ1Г(1
V =_________1 (Vl ^____(14-о) = П.
Система (2.13) в области Vx 1 (а следовательно, и динамическая система на
компоненте границы Г3) не имеет предельных циклов в силу критерия Дюлака
- Бендиксона, поскольку справедливо тождество
dfP dfQ _ 1 + 3к
dq dV\ (1 И- A:) (1^х - 1) ^ '
где / = (qVх
Качественное поведение динамической системы на компонентах границы Г*
показано на рис. 22 (к = 1, . . . , 6). При этом построении использовано
доказанное выше отсутствие предельных циклов на компоненте границы Г3,
наличие простых монотонных функций на компонентах границы Гх, Г4, Г5, Г6
и наличие интеграла (1.13) динамической системы на компоненте границы Г2.
Вычисление собственных чисел (2.12) показывает, что из особой точки Zx
выходит некоторая двумерная сепаратриса Z. Одномерные сепаратрисы,
получаемые пересечением Z с компонентами границы Г6 и Г3, соединяют
особую точку Zx с Z2 и Z3. Поэтому одномерная сепаратриса 552, выходящая
из особой точки Z2 (см. рис. 22, к - 4), является пересечением
сепаратрисы Z с компонентой границы Г4 (V = 0) (сепаратрисе Х2 отвечает
некоторое точное решение с плоской симметрией), а одномерная сепаратриса
X, выходящая из особой точки Z3, является предельной линией, на которую
наматывается двумерная сепаратриса Z (см. рис. 21).
= Р,
(2.13)
§ 2] ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 169
Сепаратриса X, выходящая из особой точки Z3, интегрируется явно: на этой
траектории
С Г1_а 2 к
Q = - U = | C2ra (iL") |'i/2 " w = 2a, а = 4 + • (2.14)
Траектории X отвечает следующее точное статическое решение уравнений
Эйнштейна, найденное впервые Оппенгеймером и Волковым (см. [111, 112]):
ds2 - R2"dt2 - AdR2 - R2 (dQ2 + sin20 dq>2), (2.15)
где A = (1 + 6& + A:2) (1 + &)~2, плотность энергии e = = 4A[x0 (1 + 6A +
к2) i?2]"\ давление p = кг. Автомодельной переменной в решении (2.15)
является [г = tRa~l. Связь автомодельных переменных [гиг дается
выражением
/ ч 1 I Л (а - I)2 О 1/(206-2)
r(V) = -сГГ-^-А*-*
Одна сепаратриса, выходящая из особой точки Zx (и принадлежащая двумерной
сепаратрисе Z), также интегрируется явно: на этой траектории
^ и 26и2 /0 м ч
Q ~ р - 1 - 0U2 ' W-- р - 1 - pM2 > М- (Р - 1)^"
(2.16)
г (ц) = (1_(р_1)2 ц2)1/(20-2), р = _1_ .
Траектория (2.16) соответствует плоскому решению Фридмана
ds2 = dt2 - <20 (dR2 + R2 (сЮ2 + sin2 0 dcp2)), е=-|- , (2.17)
которое при всех к является автомодельным с автомодельной переменной \i -
Rft'1. Связь автомодельных переменных [г и г дается (2.16). Все остальные
сепаратрисы, выходящие из особой точки Zx, описывают, таким образом,
некоторые возмущения плоского решения Фридмана. Все эти решения
продолжаются до центра симметрии и имеют следующую асимптотику при г -> О
(здесь Т - ехр %):
r2ds2"(l + *-r2)dT2 -
- Т'г [(l + (т-^ - l) г2)dr2 + г2 (dQ2 + sin2ed<p2)] , (2.18)
1 -(- ЗЛ: ^ ?С! 1
